Fyzika II

RELATIVITA – PŘÍKLADY

bullet
Local menu    Mion
Local menu Interval
Local menu Parametry rychlé částice
Local menu Slunce
Local menu Dopplerův jev
Local menu Heavisideovo pole
Local menu Poundův-Rebkův experiment
Local menu Kosmologický posuv
Local menu Náboj v elektrickém poli
bullet

Příklad 1: Mion

Zadání: Doba života mionu (těžký elektron) je Δτ = 2.2×10−6 s. Mion vznikl ve výšce h = 30 km nad povrchem Země z kosmického záření a dopadl na Zem. Jakou musel mít minimální  rychlost při vzniku?

mion

Řešení: Z hlediska pozorovatele na Zemi je mion v pohyblivé soustavě a doba jeho života se prodlužuje na Δt = γΔτ. Mion proto může ulétnout až vzdálenost hυΔt = υγΔτ. Z tohoto vztahu vypočteme rychlost, kterou musí minimálně mít: υ = c/[1 + (cΔτ/h)2]1/2.

Výsledek: υ = 0.99976 c.

Příklad 2: Interval

Zadání: Dokažte, že interval Δs2 = − c2Δt2 + Δx2 + Δy2 + Δz2 je invariantní, tj. nezávisí na volbě souřadnic.

Předpoklady: Předpokládáme, že máme dvě události (ta, xa, ya, za) a (tb, xb, yb, zb) a v nějaké soustavě vypočteme veličinu   Δs2, kde Δt = tb ta, Δx = xb xa, ... Tato veličina rozhoduje o tom, zda události mohou být kauzálně svázané a musí vyjít ve všech souřadnicových soustavách stejně.

cars

Řešení: Vyjdeme z Lorentzovy transformace

t′ = γ (tυx/c2)
x
′ = γ (xυt)
y
′ = y
z
′ = z

V čárkované soustavě pro interval obou událostí máme:

Δs 2 =  − c2Δt 2 + Δx' 2 + Δy 2 + Δz 2 =  
= − c2γ2 tvΔx/c2)2 + γ2 x υΔt)2 + Δy2 + Δz2 =
  
= − c2γ2(1 − υ2/c2t2 + γ2(1 − υ2/c2x2 + Δy2 + Δz2 =
 
= − c2Δt2 + Δx2 + Δy2 + Δz2.

Výsledek je tedy shodný v obou soustavách.

Příklad 3: Parametry rychlé částice

Zadání: Elektron je urychlen napětím U = 106 V. Určete jeho rychlost z klasického i relativistického výrazu pro kinetickou energii.

kond

Řešení: Elektron v každém případě urychlením získá kinetickou energii Wk = QU. V klasickém případě je

Wk = m0υ2/2    →    υ = (2Wk/m0)1/2 = (2QU/m0)1/2.

V relativistickém případě je

Wk = γm0c2m0c2    →    υ = c[1 − (1 + QU/m0c2)−2]1/2.

Výsledek: υner = 1.98 c, υrel = 0.94 c. Nerelativistický výraz zjevně nemůžeme případě použít, vede k nadsvětelným rychlostem. Výpočet je třeba provést relativisticky.

Příklad 4: Slunce

Zadání: Jak se změní hmotnost Slunce za jeden rok díky jeho vyzařování? Intenzita slunečního záření v okolí Země je I = 1.4 kW m−2.

sun

Řešení: Δm = ΔE/c2 = PΔt /c2 = 4πR2I Δt/c2.

Výsledek: Δm ~ 1017 kg. Celková hmotnost Slunce je 2×1030 kg. Jde tedy o zanedbatelný zlomek.

Příklad 5: Dopplerův jev

Zadání: Odvoďte relativistický Dopplerův jev pomocí transformace čtyřvektoru (ω/ck). Proč dochází k Dopplerovu jevu i tehdy, když zdroj pozorovatele jen míjí a jejich vzdálenost se nemění (tzv. transverzální Dopplerův jev)?

Řešení:

Doppler

Snadno nalezneme řešení v soustavě S ′ spojené se zdrojem záření:, tedy v klidové soustavě: kμ = (ω0/c; k cos α0; k sin α0; 0) = (ω0/c; ω0/c cos α0; ω0/c sin α0; 0). Nyní provedeme Lorentzovu transformaci do soustavy pozorovatele S:

eq.

Z prvního řádku maticového násobení máme výsledek

ω = γ (1 + v/c cos α0) ω0.

tento vztah je známý jako relativistický Dopplerův jev. V limitě nízkých rychlostí (zanedbáme členy kvadratické a vyšší faktorem υ/c) je c → 1 a ω = (1 + υ/c cos α) ω0. Při vzdalování zdroje je α = 180° a ω = (1 − υ/c) ω0, při přibližování zdroje je α = 0° a ω = (1 + υ/c) ω0. Jde o známé nerelativistické Dopplerovy vztahy. Při vyšších rychlostech jsou tyto vztahy modifikovány koeficientem γ. Jestliže zdroj záření pozorovatele míjí (α = ± 90°) je ω = γ ω0. K změně frekvence tedy dochází i v případě, že se zdroj nevzdaluje ani nepřibližuje. Tento jev se nazývá transverzální Dopplerův jev a jde o čistě relativistický jev, který nemá v nerelativistické fyzice obdoby. Je způsoben změnou chodu času v pohybující se soustavě.

Prostorové relace maticové transformace dají vztahy

ω cos α = γω0(β+cos α0),
ω
sin α = ω0 sin α0.

Pokud obě rovnice vydělíme, získáme vztah mezi oběma úhly, který je nezávislý na frekvencích a závisí jen na vzájemné rychlosti soustav:

tg α = sin α0/(γβ+γ cos α0).

Ze vztahu je zřejmé, že vlnoplocha změnila směr a tato změna závisí jen na vzájemné rychlosti soustav v. Relativistický Dopplerův jev jsme zde odvodili jen pro světlo (ω = ck) a nikoli pro obecné vlnění látky.

Příklad 6: Heavisideovo pole

Zadání: Určete pole náboje letícího konstantní rychlostí. Využijte transformaci čtyřvektoru (ϕ/c, A).

Řešení: V soustavě spojené s nábojem je zřejmě ϕ′ = Q/(4πε0r′, A′ = 0.

 coord

Provedeme transformaci do soustavy S pozorovatele

eq.

Výsledek je

eq 

Je zřejmé, že magnetické pole B = rot A je již nenulové, a že elektrické pole E = − ∂A/∂t − ∂ϕ/∂x je také modifikováno. Nový tvar polí je

eq

Důležitá je kolmá a rovnoběžná složka elektrického pole:

eq heavis

Vidíme, že elektrické pole ve směru pohybu je stlačeno faktorem γ−2 a napříč pohybu je nataženo faktorem γ. Pole se pohybuje spolu s nábojem. Magnetické pole tvoří kružnice kolmé na pohyb náboje. Pro nekonečnou řadu nábojů bychom získali pole kolem vodiče. Podobně lze postupovat při transformaci energie a hybnosti, hustoty a proudové hustoty, atd. Prohlédněte si aplet „Heavisideovo pole“.

Příklad 7: Poundův-Rebkův experiment

Zadání: Určete relativní změnu frekvence a vlnové délky v Poundově-Rebkově experimentu. Foton prolétal starou vodárenskou věží o výšce Δh = 22.6 m. Použity byly fotony s energií 14.4 keV emitované izotopem kobaltu 57Co.

veža

Řešení: Ze vztahu Δω/ω0 = − Δλ/λ0 = Δϕ/c2  = gΔh/c2 snadno určíme Δω/ω0 = 2.5×10 −15, Δλ/λ0 =  2.5×10 −15.

Příklad 8: Kosmologický posuv

Zadání: Quasar má rudý posuv z = 2.5. Určete pozorovanou vlnovou délku čáry λ = 680 nm. Jaké byly rozměry Vesmíru v době, kdy quasar vyslal záření?

vesmír

Řešení: Stačí vyjít ze základního vztahu pro kosmologický rudý posuv: z = Δλ/λ0 = [R(t) − R(t0)]/R(t0). Odsud snadno určíme:

2.5 = λ/λ0 − 1    →    λ = 3.5 λ0 = 2380 nm.

Obdobně

2.5 = R/R0 − 1    →    R0 = R /3.5 = 29 % R.

Vlnová délka je posunuta do neviditelné infračervené oblasti spektra. Rozměry Vesmíru byly v době vyslání signálu 29 % rozměrů dnešních.

Příklad 9: Náboj v elektrickém poli

Zadání: Řešte urychlování náboje z nulové rychlosti ve směru pole nerelativisticky a relativisticky.

Řešení nerelativistické: Budeme integrovat pohybovou rovnici

eq

Nerelativistické řešení má zjevné vady, například 

eq

Náboj je nekontrolovatelně urychlován na jakoukoli rychlost.

Řešení relativistické: Budeme integrovat relativistickou pohybovou rovnici

eq

Vidíme, že po první integraci jsme nedostali rychlost samotnou, ale vztah, ze kterého teprve musíme rychlost vypočítat:

eq

eq

Výraz pro rychlost již není tak jednoduchý, zato ale nediverguje,

eq

Chcete-li znát polohu, je třeba provést ještě jednu integraci:

eq


bullet


bullet Aldebaran Homepage Aldebaran Homepage