Fyzika II

KVANTOVÁ TEORIE – PŘÍKLADY

bullet
Local menu    Stefanův-Boltzmannův zákon
Local menu Wiennův zákon
Local menu Slunce
Local menu Člověk
Local menu Čára Hα
Local menu Mikroskop
Local menu Komutátor
Local menu Jáma
Local menu Emise
bullet

Příklad 1: Stefanův-Boltzmannův zákon

Zadání: Nalezněte z Planckova vyzařovacího zákona závislost celkové intenzity záření na teplotě.

Planck

Řešení: Stačí integrovat Planckovu formuli přes všechny frekvence a úhly. Do konstanty „const“ zahrnujeme číselné koeficienty. Mezi ně patří nakonec i bezrozměrný integrál v posledním řádku, jehož hodnotu by bylo možné určit numericky:

eq

Příklad 2: Wiennův zákon

Zadání: Nalezněte z Planckova vyzařovacího zákona závislost vlnové délky maxima vyzařování na teplotě.

Wienn

Řešení: K hledání maxima využijeme Planckův zákon ve frekvencích, který je jednodušší pro derivování. Nutná podmínka maxima je

Wienn

Po derivování a jednoduchých úpravách podmínka přejde na rovnici

(3 − ħω/kBT)exp(ħω/kBT) = 3,

ve které označíme

x = ħω/kBT

a získáme transcendentní rovnici (3 − x) = 3 exp(−x). Tato rovnice může být snadno řešena numericky nebo graficky (v grafu najdeme průsečík funkcí na levé a pravé straně rovnice). Řešení rovnice je buď x = 0 (toto řešení je triviální a vede na nulovou frekvenci) nebo x ~ 2.82144 (hledané řešení). Z definice x je zřejmé, že ωmax ~ T, neboli λmax ~ 1/T.

f1 f2
Graf křivky 3 − x a křivky 3 exp(−x) Graf křivky 3 − x − 3 exp(−x)

Příklad 3: Slunce

Zadání: Nalezněte povrchovou teplotu Slunce, víte-li, že u Země je intenzita záření IZ = 1.4 kW/m2. Nalezněte povrchovou teplotu Slunce také z faktu, že maximum vyzařování je ve žluté barvě s λmax = 500 nm.

Další údaje: Vzdálenost Země od Slunce RZS = 150×106 km, poloměr Slunce RS = 700 000 km.

Slunce

Řešení: Známe-li intenzitu záření Slunce u naší Země, můžeme určit celkový výkon Slunce P = 4πRZS2IZ. Z celkového výkonu spočteme intenzitu vyzařování na povrchu Slunce IS = P/4πRS2. Ta je podle Stefanova-Boltzmannova zákona rovna σT4. Pro teplotu na povrchu tak vychází:

T = [IZRZS2/σRS2]1/4.

Z Wiennova posunovacího zákona víme, že vlnová délka maxima vyzařování je  λmax = b/T, odsud snadno určíme teplotu povrchu Slunce:

T = b/λmax .

Výsledek: Oběma postupy vychází teplota povrchu Slunce cca 5 800 K.

Příklad 4: Člověk

Zadání: Nalezněte vlnovou délku na které vyzařuje maximum energie člověk o teplotě 37 °C.

man

Předpoklady: Člověk září jako absolutně černé těleso.

Řešení: Využijeme Wiennův posunovací zákon λmax = b/T = 0.00289/310 m = 9.3×10−6 m. Maximum je v infračervené oblasti. Na této vlnové délce musí být citlivá různá čidla monitorující pohyb člověka (bezpečnostní systémy apod.).

Příklad 5: Čára Hα

Zadání: Nalezněte vlnovou délku vodíkové čáry Hα (přechod z hladiny n = 3 na hladinu n = 2).

emise

Řešení: Při přechodu se uvolní energie ΔE = E3 E2 = E1/9 − E1/4 = −13,6 eV (1/9 − 1/4) = 1.88 eV. Tato energie je rovna energii vyzářeného fotonu ΔE = ħω = ħc/λ. Odsud již snadno určíme vlnovou délku.

Výsledek: λ = 656 nm.

Příklad 6: Mikroskop

Zadání: Nalezněte maximální možnou (teoretickou) rozlišovací schopnost elektronového mikroskopu. Elektrony jsou urychleny potenciálovým rozdílem 104 V.

chrchle

Řešení: Elektron v elektronovém mikroskopu se chová jako vlna, mezní rozlišovací schopností je sama vlnová délka elektronu. Od částicových vlastností je tedy třeba přejít k vlnovým vlastnostem elektronu. Elektron je urychlen na kinetickou energii meυ2/2 = QU. Z této rovnice zjistíme rychlost částice. Vzhledem k malému urychlujícímu napětí jsme použili jen nerelativistický vztah. Pro vyšší napětí by bylo třeba rychlost najít z relativistického vztahu (prohlédněte si příklad Parametry rychlé částice“). Nyní přejdeme k vlnovým vlastnostem podle Heisenbergova vztahu p = ħk. Vzhledem k nerelativistické situaci je v převodní rovnici  p = meυ a k = 2π/λ.

Výsledek: Mezní rozlišovací schopnost je rovna vlnové délce elektronu λ = h (2meQU)−1/2 ~ 10−11 m.

Příklad 7: Komutátor

Zadání: Nalezněte komutační relaci mezi operátorem násobení souřadnicí a operátorem derivování.

komut

Řešení: Přímo z definice komutátoru nalezneme výsledek:

[x, d/dx] f = (x d/dx − d/dx x) f = x df/dx − d/dx (xf ) = x df/dxfx df/dx = − f .

Porovnáme-li první a poslední výraz, zjistíme:

[x, d/dx] = −1.

Příklad 8: Jáma

Zadání: Nalezněte energetické hladiny v potenciálu nekonečné pravoúhlé jámy

eq.

Řešení: V oblastech I a III je jediné řešením bezčasové Schrödingerovy rovnice ψ = 0 (potenciál je nekonečný). Z fyzikálního hlediska to znamená, že pravděpodobnost výskytu částice je nulová. Kdyby byla jáma konečná (konečný potenciál vně jámy), byla by vlnová funkce ψ v těsné blízkosti hranice jámy nenulová. Částice by měla sice malou, ale nenulovou pravděpodobnost existence i za hranicí jámy. V oblasti II má Schrödingerova rovnice tvar

eq

který lze upravit na standardní rovnici kmitů

eq

s jednoduchým řešením

ψ = A sin kx + B cos kx.

Vlnová funkce musí být spojitá na obou hranicích jámy, proto musí platit ψ(0) = 0, ψ(a) = 0. Řešením této okrajové podmínky je

B = 0 , k = πn/a ,     n = 1, 2, 3, ... .

Podmínka pro k není nic jiného než energetické spektrum (energie vystupuje v definici k).

eq

Výsledek:

eq

Prohlédněte si aplet „Jáma“.

Příklad 9: Emise

Zadání: Určete relativní nepřesnost ve vlnové délce fotonu vyzářeného atomem při přeskoku elektronu mezi dvěma hladinami. Předpokládejte, že emisní akt trvá 10−8 s. Konkrétní výpočet proveďte pro λ = 500 nm.

Řešení: Vyjdeme z limitního případu Heisenbergových relací neurčitosti:

ΔEΔtħ/2, 
ħΔωΔt ~ ħ/2,
Δ(2πc/λ) Δt ~ 1/2, 
(2πc/λ2) Δλ Δt ~ 1/2, 
Δλ /λ ~ λ/(4πcΔt).

hladiny 

Výsledek: Relativní přesnost vyzářené vlnové délky fotonu je Δλ/λ ~ 1.4×10−8.


bullet


bullet Aldebaran Homepage Aldebaran Homepage