Fyzika II

KVANTOVÁ TEORIE

bullet
Local menu    Planckova konstanta
Local menu Experimenty a jevy, které vedly ke kvantové teorii
Local menu Záření absolutně černého tělesa
Local menu Bohrův model atomu
Local menu Základní principy kvantové teorie
Local menu Základní rovnice kvantové teorie
Local menu Důležité vztahy
Local menu Kvantová čísla
Local menu Kvantování energie v některých systémech
Local menu Druhy polí
bullet

Planckova konstanta

ħ = 1.05×10−34 Js Redukovaná Planckova konstanta. Tato konstanta se dnes používá jako základní konstanta kvantové teorie. Před původní Planckovou konstantou se jí dává přednost z mnoha důvodů. Především je redukovaná konstanta přirozenou jednotkou momentu hybnosti, vystupuje v převodních vztazích mezi částicovými a vlnovými vlastnostmi objektů mikrosvěta, je na pravé straně Heisenbergových relací neurčitostí. Ve všech těchto vztazích by se při použití neredukované konstanty vyskytly členy 2π. V kvantové teorii se navíc zpravidla volí přirozená soustava jednotek, ve které jsou rychlost světla a redukovaná Planckova konstanta rovny jedné.
h ≡ 2πħ = 6.63×10−34 Js Planckova konstanta. Původní Planckova konstanta (neredukovaná). Dnes se používá zřídka.

Experimenty a jevy, které vedly ke kvantové teorii

Záření absolutně černého tělesa Max Planck ukázal (1901), že soulad mezi experimentálně naměřenými křivkami záření těles a teorií lze dosáhnout, je-li energie záření kvantována. Některé veličiny mohou v mikrosvětě nabývat jen diskrétních hodnot (energie, moment hybnosti, ...).
Fotoelektrický jev 
ħω = Aioniz + meυ2/2
Albert Einstein (1905) ukázal, že experimentální výsledky s vytrháváním elektronů z povrchu kovů za pomoci záření lze vysvětlit, je-li záření složeno z oddělených kvant (částic), které nazval fotony. Energie fotonu se spotřebuje na vytržení elektronu a na jeho kinetickou energii. Nemá-li foton daného záření energii (frekvenci) dostatečnou k vytržení elektronu, k fotoefektu nedojde vůbec. Vlnění se může projevovat v některých situacích jako tok částic.
Ohyb elektronů a neutronů Na periodických strukturách dochází k ohybovým a interferenčním jevům u elementárních částic tak, jako by to byly vlny. Do určitého místa dopadá značné množství částic (ohybové maximum), do jiných míst žádné (ohybové minimum). Jde tedy o jakési „statistické“ vlny počtu dopadů. Částice se mohou projevovat v některých situacích jako vlnění. Měření v mikrosvětě mohou mít jen pravděpodobnostní charakter.
Bohrův paradox Představíme-li si elektrony jako částice obíhající v atomech kolem jádra (planetární model), měly by podle Maxwellových rovnic tyto elektrony ztrácet energii zářením a po spirále se blížit k jádru. Doba, za kterou by měl elektron kroužící kolem jádra dopadnout na povrch jádra vychází 10−11 s. Pak ale na základě klasické elektrodynamiky nelze vysvětlit ani prostou existenci atomu.
Nekomutativnost aktu měření Měření v mikrosvětě závisí na pořadí. Měříme-li například kinetickou energii a polohu částice, dostaneme různé výsledky podle pořadí měření.
Neurčitost měření Některé veličiny nelze současně měřit s neomezenou přesností (například polohu a rychlost). Existuje jistá principiální hranice, kterou nelze překročit, daná Heisenbergovými relacemi neurčitosti.

Záření absolutně černého tělesa

eq Hustota energie [Jm−3]. Vyjádřeno pomocí úhlové frekvence záření.
eq Tok energie (intenzita). I = uc. [Jm−2s−1]. Vyjádřeno pomocí úhlové frekvence záření.
eq Hustota energie [Jm−3]. Vyjádřeno pomocí vlnové délky záření. Znaménko minus znamená, že s rostoucí vlnovou délkou klesá hustota energie.
eq Tok energie (intenzita). I = uc. [Jm−2s−1]. Vyjádřeno pomocí vlnové délky záření.
I = σT 4 Stefanův-Boltzmannův zákon. Celková intenzita záření je úměrná čtvrté mocnině teploty. Tento vztah lze odvodit integrováním vztahu pro tok energie přes úhlovou frekvenci nebo přes vlnovou délku. Stefanova-Boltzmannova konstanta má hodnotu σ = 5.67×10−8 Wm−2K−4. Prohlédněte si příklady „Stefan Boltzmannův zákon“ a „Slunce“.
λmax = b/T,
ωmax = aT
Wienův posunovací zákon. Vlnová délka maxima vyzařování je nepřímo úměrná teplotě. Lze odvodit vyhledáním maxima v Planckově zákonu. Wienova konstanta má hodnotu b = 0.00289 m K. Prohlédněte si příklady „Wiennův zákon“, „Slunce" a „Člověk“.

Bohrův model atomu

1. meυn2/rn = Q2/(4πε0rn
2. 2πrn =  
První Bohrův axiom je jen rovnováha Coulombovy a odstředivé síly. Druhý axiom, říká, že na obvod dráhy elektronu se může „naskládat“ celistvý násobek vlnové délky elektronu určené z de Broglieho vztahů pro dualitu vlna-částice. Po dosazení za λ dostaneme skutečný význam 2. Bohrova axiomu − jde o kvantování momentu hybnosti, ve kterém je přirozenou jednotkou momentu hybnosti právě redukovaná Planckova konstanta: mrnυn = . Obě rovnice tvoří soustavu rovnic pro hodnoty rn a υn. Z nich potom můžeme určit další veličiny, například kinetickou a potenciální energii. Prohlédněte si příklad „Čára Hα“.
rn = r1 n2 Poloměr trajektorií elektronů. Bohrův poloměr r1 = 50 nm.
υn = υ1/n Rychlosti elektronů. První Bohrova rychlost υ1 = 2×106 ms−1.
bn = b1 n Momenty hybnosti elektronů. Moment hybnosti na první dráze b1 = ħ.
En = E1/n2 Energie vázaných stavů. Energie základního stavu: E1 = −13.6 eV. Vyzářená kvanta záření mohou být rozdíly energií vázaných stavů.

Základní principy kvantové teorie

E → i ħ∂/∂t
p  → −i ħ
AȂ. Akt měření provedený na objektech mikrosvěta nekomutuje. Proto se místo dynamických proměnných používají operátory, které vzájemně nekomutují. Lze použít například matice (Heisenbergova maticová mechanika) nebo diferenciální operátory působící na funkce (Schrödingerova vlnová mechanika). Místo dynamické proměnné máme tedy operátory, místo stavu tzv. vlnovou funkci, na kterou operátory působí. Prohlédněte si příklad „Komutátor“.
Ȃψn = an ψn Problém vlastních hodnot. V přírodě můžeme naměřit jen ty hodnoty, které jsou vlastními čísly operátoru příslušícího dané dynamické proměnné. Speciálním případem této rovnice je Schrödingerova rovnice (bezčasová). Jde o rovnici pro vlastní hodnoty operátoru energie (Hamiltonova operátoru).
ψ*ψ Hustota pravděpodobnosti výskytu částice. Nejjednodušší výraz vytvořený z komplexní vlnové funkce, který poskytne reálné číslo.
eq Středování. Výraz pro průměrnou naměřenou hodnotu veličiny A v kvantovém stavu s vlnovou funkcí ψ. Jmenovatel zajišťuje správné normování pravděpodobností.
ψ = c1ψ1 + c2ψ2 Princip superpozice. Kvantová teorie je lineární. Jsou-li ψ1 a ψ2 možné kvantové stavy, je jejich libovolná superpozice také fyzikálně realizovatelný kvantový stav.

Základní rovnice kvantové teorie

i ħψ/∂t =[−(ħ2/2m)Δ + V ]ψ Schrödingerova rovnice. Základní rovnice vlnové mechaniky, ve které jsou dynamické proměnné nahrazeny nekomutujícími operátory. Rovnice není relativistická, obsahuje první časové a druhé prostorové derivace. Správná relativistická rovnice musí mít všechny derivace stejného řádu a být lorentzovsky invariantní.
( − m02c2/ħ2)ψ = 0 Kleinova-Gordonova rovnice. Správná relativistická verze pro volné částice se spinem s = 0. Rovnice platí například pro skalární mezony.
(∑ i ħ μγμ−m0c) ψ = 0 Diracova rovnice. Správná relativistická verze pro volné částice se spinem s = 1/2. Rovnice platí například pro elektrony. Veličiny γμ jsou matice 4×4 obsahující prvky 0, ±1, ±i a vlnová funkce je čteřice funkcí tvořících bispinor. Pomocí této rovnice Dirac předpověděl existenci pozitronu.

Důležité vztahy

E = ħω
p = ħk
Dualismus vlna částice. Vztahy původně formulované Louis de Brogliem. Objekty mikrosvěta se mohou v některých situacích chovat jako vlny popsané čtyřvektorem (ωk), jindy jako částice popsané čtyřvektorem (Ep). Převodním koeficientem je redukovaná Planckova konstanta. V přirozené soustavě jednotek by převodní koeficient byl roven jedné. Prohlédněte si příklad „Mikroskop“.
ΔE Δt  ≥ ħ/2
Δx Δp  ≥ ħ/2
Relace neurčitosti. Poprvé objevené Heisenbergem. Jde o střední kvadratické hodnoty měřených veličin. Měření veličiny jedné ovlivní měření veličiny druhé. Čím přesněji změříme polohu objektu, tím horší máme informaci o jeho hybnosti. U fotonu procházejícího štěrbinou máme konkrétní informaci o poloze (prošel štěrbinou). Ztrácíme ovšem informaci o hybosti, dochází totiž k ohybu. Jiný příklad: Emisní akt v atomárním obalu trvá určitou dobu Δt. Energetické hladiny proto již nemohou být „ostré“, mají neurčitost ΔE. Prohlédněte si příklad „Emise“.
[−(ħ2/2m)Δ + V ]ψ = Shrödingerova rovnice. Rovnice pro vlastní hodnoty Hamiltonova operátoru (operátoru energie vyjádřeného v hybnostech a polohách). Cílem je najít hodnoty energie En tak, aby vlnové funkce byly z prostoru L2 (integrovatelné s kvadrátem). Nalezené hodnoty odpovídají možným naměřeným hodnotám energie. V je předpis pro potenciální energii. Nerelativistický vztah. Prohlédněte si příklad „Jáma“.

Kvantová čísla

Dále uvedené vztahy se týkají situací se sféricky symetrickým potenciálem (Coulombův potenciál, sférický harmonický oscilátor, sférická jáma, ...). V těchto situacích lze současně měřit energii, kvadrát momentu hybnosti, jednu libovolnou komponentu momentu hybnosti a spin.
n Hlavní kvantové číslo. Čísluje energetické stavy (řešení rovnice pro vlastní hodnoty Hamiltonova operátoru). Tyto hodnoty závisí na předpisu pro potenciální energii a jsou případ od případu různé. Některé hodnoty pro typické potenciály jsou v následující tabulce.
l Vedlejší kvantové číslo. Čísluje velikost momentu hybnosti. Jde o řešení rovnice pro vlastní hodnoty operátoru kvadrátu momentu hybnosti. Tato rovnice poskytuje řešení: b2 = l(l+1)ħ2l = 0, 1, 2...
m Magnetické kvantové číslo. Čísluje projekci momentu hybnosti do libovolné osy. Jde o řešení rovnice pro vlastní hodnoty operátoru libovolné komponenty momentu hybnosti. Tato rovnice má řešení: bz = m = −l, −l+1, ..., l−1, l. Moment hybnosti nabité částice souvisí s magnetickým momentem částice (μ = Qb/2m). Proto se toto číslo nazývá magnetické kvantové číslo.
s Spinové kvantové číslo. Spin je veličinou souvisící se symetrií rovnic vzhledem k Lorentzově transformaci. Odpovídá rotaci mezi časovou a prostorovou osou ve čtyřech dimenzích. Přirozeným způsobem se skládá s momentem hybnosti, který souvisí se symetriemi vzhledem k prostorovým rotacím.  S2 = s(s+1)ħ2,   s = 0, 1/2, 1...
sz Projekce spinu. Čísluje projekci spinu do libovolné osy. Jde o analogii magnetického kvantového čísla pro moment hybnosti. Opět platí Sz = szħ,    sz = −s, −s+1, ..., s−1, s.

Kvantování energie v některých systémech

Oscilátor V(x) = kx2/2 = 2x2/2    En = (n+½) ħω    n = 0, 1, ...
Jáma V(x) = 0,    x∈ (0, a)
V(x) = ∞,   x ∉ (0, a
En = π2 ħ2n2/(2ma2) n = 1, 2, ...
3D oscilátor V(r) = kr2/2 = 2r2/2  En = (n+3/2) ħω  n = 0, 1, ...
Coulombovo pole V(r) = α/r  En = −2/(2ħ2n2) n = 1, 2, ...

Povšimněte si, že základní hladiny energie u harmonických oscilátorů i u nekonečné jámy jsou nenulové. Jde o nulové kmity, které nevymizí ani při absolutní nule. Prohlédněte si příklad „Jáma“. Prohlédněte si aplet „Jáma“. Prohlédněte si aplet „Harmonický oscilátor“.

Druhy polí

s = 0;   sz = 0 Skalární pole. Má jedinou možnou projekci spinu do určité osy. Je popsáno jedinou vlnovou funkcí. Tyto částice se nazývají skalární bosony. Patří k nim například mezony π a K. Skalární pole je popsáno Klein-Gordonovou rovnicí.
s = 1/2;   sz = −1/2, 1/2 Spinorové (Diracovo) pole. Má dvě možné projekce spinu do určité osy. Je popsáno dvojicí funkcí, tzv. spinorem. Popisujeme-li současně částice i antičástice je k popisu nutný bispinor (čtveřice funkcí s přesně stanovenými transformačními pravidly). K těmto částicím patří především elektrony, neutrina a kvarky. Chování částic je popsáno Diracovou rovnicí.
s = 1;   sz = −1, 0, 1 Vektorové pole. Má tři možné projekce spinu do určité osy. Je popsáno vektorovými funkcemi. K těmto částicím patří především foton (elektromagnetické pole), dále pak intermediální vektorové bosony slabé interakce W+, W, Z0. Chování částic je popsáno kvantovou teorií elektromagnetického pole (Feynman, Dirac, ...).
s = 2;   sz = −2, −1, 0, 1, 2 Gravitační pole. Je popsáno deseti funkcemi, které zadávají křivost časoprostoru. S kvantovým popisem jsou stále problémy.

O elementárních částicích se můžete dozvědět více na strákách „Částice a interakce“ v kapitole „Standardní model“.

bullet


bullet Aldebaran Homepage Aldebaran Homepage