Fyzika II

ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY – PŘÍKLADY

bullet
Local menu    Gradient
Local menu Divergence
Local menu Rotace
Local menu Vlny ve vakuu
Local menu Vlny v anizotropním prostředí
Local menu Vlny ve vodiči
Local menu Vlny ve vlnovodu
Local menu Sluneční světlo
Local menu Potenciály
bullet

Příklad 1: Gradient

Zadání: Představte si, že nadmořská výška kopce je dána formulí: h(x, y) = 5 exp[−x2 − 9 y2]. Nalezněte kolmé vektory k vrstevnicím v bodech o souřadnicích A = [3,0]; B = [−3,1].

Řešení: Rovnice vrstevnic jsou h(x, y) = const. Tento vztah je snadné upravit na rovnici elipsy (x/3)2 + y2 = const. Kolmice k vrstevnicím v libovolném bodě jsou n = grad h = (∂h/∂x, ∂h/∂y) = 5 exp[−x2 − 9 y2] (−2x, −18y) ~ (−x, −9y). Nepodstatné konstanty mění jen délku vektoru a nic nemění na tom, že vektor je kolmý k vrstevnici, proto jsme tyto konstanty vynechali.

Výsledek: nA ~ (−3, 0) ~ (−1, 0); nB ~ (+3, −9) ~ (+1, −3).

kopec

Příklad 2: Divergence

Zadání: Nalezněte divergenci elektrického pole bodového náboje v celém prostoru.

Předpoklady: Náboj je bodový (r → 0,  ρ → ∞).

naboj

Řešení: Elektrické pole v okolí bodového náboje je dáno Coulombovým zákonem: E = Q/(4πε0r2) n, kde r je vzdálenost daného místa od náboje, n je jednotkový vektor n = (x/r, y/r, z/r) mířící od náboje. Elektrické pole má tedy složky (označili jsme k = Q/(4πε0)):

Ex = k (x/r3),

Ey = k (y/r3),

Ez = k (z/r3).

Pro výpočet divergence budeme potřebovat derivace vzdálenosti podle jednotlivých proměnných:

r/∂x = ∂(x2 + y2 + z2)1/2/∂x  = x/r,

r/∂y = ∂(x2 + y2 + z2)1/2/∂y  = y/r,

r/∂z = ∂(x2 + y2 + z2)1/2/∂z  = z/r.

Nyní již snadno určíme divergenci elektrického pole (derivujte jako podíly):

div E = ∂Ex/∂x + Ey/∂y + Ez/∂z = 0 pro r ≠ 0!

Výsledek: Divergence elektrického pole je v celém prostoru nulová kromě množiny r = 0, ve které je zdroj pole − singulární hustota náboje.

Příklad 3: Rotace

Zadání: Nalezněte rotaci z magnetického pole v okolí vodiče protékaného proudem. Nezapomeňte, že viry jsou v počítači a v nás, výři létají po lesích a naše výpočty se týkají vírů.

vir

Předpoklady: Vodič je nekonečně dlouhý a limitně tenký (r → 0,  j → ∞).

Řešení: Magnetické pole v okolí nekonečného tenkého vodiče je ve válcových souřadnicích dáno Ampérovým zákonem: B = μ0/(2πr) τ, kde r je vzdálenost daného místa od vodiče, osa z míří ve směru vodiče, τ je tečný jednotkový vektor τ = (−y/r, x/r, 0). Ověřte, že velikost tohoto vektoru je rovna jedné a že je kolmý k normálovému vektoru n = (x/r, y/r, 0). Magnetické pole má tedy složky (k = μ0/(2π)):

Bx = k (−y/r2),

By = k (+x/r2),

Bz = 0 .

Pro výpočet rotace budeme potřebovat derivaci vzdálenosti podle jednotlivých proměnných:

r/∂x = ∂(x2 + y2)1/2/∂x  = x/r

r/∂y = ∂(x2 + y2)1/2/∂y  = y/r.

Nyní již snadno určíme jednotlivé komponenty rotace magnetického pole (derivujte jako podíly):

rot B = (∂Bz/∂y − By/∂z, Bx/∂z − Bz/∂x, By/∂x − Bx/∂y) = (0, 0, 0) pro r ≠ 0!

Výsledek: Rotace magnetického pole je v celém prostoru nulová kromě množiny r = 0, ve které je centrum vírů a současně zdroj magnetického pole − singulární proudová hustota.

Příklad 4: Vlny ve vakuu

Zadání: Řešte pomocí Fourierovy transformace Maxwellových rovnic konfiguraci polí v elektromagnetické vlně ve vakuu. Nalezněte vztah pro rychlost šíření této vlny a vztah mezi elektrickou a magnetickou složkou pole. Tomuto příkladu věnujte maximální pozornost, zkuste si podobně vyřešit jiné prostředí než vakuum (vodič, anizotropní prostředí, atd.).

Řešení: Obecné Maxwellovy rovnice mají tvar

div D = ρ,

div B = 0,

rot E = − ∂B/∂t,

rot H = j + ∂D/∂t

Ve vakuu platí j = 0, ρ = 0, D = ε0E, B = μ0H a Maxwellovy rovnice získají tvar

div E = 0,

div B = 0,

rot E = − ∂B/∂t,

rot E = − ∂B/∂t,

rot B = ε0μ0E/∂t.

Je třeba provést Fourierovu transformaci, tj. obecnou vlnu složit z lineárních vln typu exp[i(kx − ωt)]. Vzhledem k linearitě Maxwellových rovnic postačí dosadit do MR jednu obecnou lineární vlnu. V praxi to znamená jednoduché nahrazení:

∂/∂ − i ω;      → i k;    div → i×    rot → i k×,

po kterém z Maxwellových rovnic máme

k·E = 0 ⇒  Ek
k·B = 0 ⇒  Bk
k × E = ωB ⇒  Bk, E
× B = − ε0μ0ωE   ⇒  Ek, B
vlna

Odtud vyplývá, že vektory k, E, B tvoří ortogonální systém. Vektory E a B kmitají napříč směru šíření k, elektromagnetické vlnění je příčné. Poslední dvě relace nesou další informace. Vzhledem ke kolmosti vektorů můžeme ve velikostech psát: kE = ωB, kB = ε0μ0ωE. Vynásobením a vydělením obou rovnic získáme vztahy:

c = υf ≡ ω/k = (ε0μ0)−1/2;   E/B = (ε0μ0)−1/2.

První vztah udává jednak rychlost šíření světla ve vakuu, jednak je nejjednodušší možnou disperzní relací ω2 = k2/ε0μ0. Druhý vztah udává poměr elektrické intenzity a magnetické indukce v elektromagnetické vlně E/B = c. V kombinaci se vztahem pro intenzitu I = EH ho lze použít k výpočtu E, B − například v záření od Slunce (prohlédněte si příklad „Sluneční světlo“).

Příklad 5.: Vlny v anizotropním prostředí

Zadání: Řešte pomocí Fourierovy transformace Maxwellových rovnic konfiguraci polí v elektromagnetické vlně v elektricky anisotropním prostředí. V jakém směru míří fázová rychlost a v jakém směru míří grupová rychlost?

Předpoklady: V anisotropním prostředí nemusí vektory E a D mířit ve stejném směru. Připomeňme si, že D = ε0E + P. Vektor polarizace P je hustota dipólových momentů, které vyvolá pole E. Ty ale mohou sledovat například krystalografické roviny a ne pole E. Výsledkem je, že pole E a D mají různý směr. Stejně tak může u magneticky aktivních materiálů docházet k magnetizaci prostředí a vektor H = B/μ0M nemusí mířit ve stejném směru jako B. Budeme předpokádat anisotropii elektrických vlastností, tj. elektrické vektory D a E nejsou rovnoběžné.

Řešení: Opět položíme v Maxwellových rovnicích j = 0, ρ = 0. Vzhledem k anizotropii musíme v rovnicích ponechat oba elektrické vektory. Provedeme FT Maxwellových rovnic stejně jako v minulém příkladě. Po FT máme:

div D = 0, k×D = 0 Dk
div B = 0, k×B = 0 Bk
rot H = ∂D/∂t, k×H = −ωD Dk, H
rot E = − ∂B/∂t k×E = ωB Bk, E

Fázová rychlost míří ve směru vlnového vektoru k, grupová rychlost ve směru šíření energie, tj. ve směru Poytingova vektoru E × H. poměry v elektromagnetické vlně v elektricky anisotropním prostředí tedy jsou:

vlny

Příklad 6.: Vlny ve vodiči

Zadání: Nalezněte pomocí Fourierovy transformace telegrafní rovnice disperzní relaci elektromagnetické vlny ve vodiči. Který člen způsobuje útlum vln? Nalezněte vztahy pro střední dobu útlumu a střední vzdálenost šíření vlny ve vodiči.

Předpoklady: Vodič je jednodimenzionální, má směr osy x.

draty

Řešení: Ve vodiči splňují elektromagnetické vlny telegrafní rovnici:

(Δ − c−22/∂t2 − γμ∂/∂t) E  = 0.

Stejnou rovnici splňuje i magnetické pole. Obecná vlna je složena z rovinných vln tvaru exp[i (kxωt)]. Nezapomeňte na použitou znaménkovou konvenci!! Po dosazení rovinné vlny (FT) máme disperzní relaci: ω2c2k2 − i c2γμω. Je-li vodivost nulová (γ = 0), přejde tato disperzní relace ve známou disperzní relaci vln v nevodivém prostředí. Ve vodiči je disperzní relace komplexní, což obecně znamená útlum.

Útlum v prostoru: Hledejme nejprve prostorový útlum (řešení v k):

c2k2ω2  + i c2γμω ~  i c2γμω.

Vzhledem k vysoké vodivosti kovů jsme první člen na pravé straně zanedbali. Tento výraz již snadno odmocníme. Nezapomeňte, že i1/2 = (1 + i)/21/2. Proto

k = k1 + i k2;   k1 = (γμω/2)1/2;   k2 = (γμω/2)1/2.

Reálná i imaginární část vlnového vektoru je stejně veliké (to je pro kovy typické). V prostoru tedy bude mít vlna charakter exp[i k1x − k2x]. Vlna je tlumená s charakteristickou vzdáleností tlumení δs = 1/k2 = (γμω/2)−1/2. Tuto vzdálenost (do které vlna pronikne) nazýváme skinová hloubka.

Útlum v čase: Hledejme nyní útlum v čase (řešení v ω). Disperzní relace je kvadratická rovnice pro ω s řešením

ω1,2 = [−i c2γμ ±(−c4γ2μ2 + 4c2k2)1/2]/2.

Uvědomíme-li si, že v diskriminantu je vodivostní člen dominantní (kov), zbývá jediné nenulové řešení ω ≈ − i c2γμ. Řešení ve frekvenci je ryze imaginární

ω = ω1 + i ω2   ω1 = 0;    ω2 = − c2γμ

a má charakter útlumu exp[−i ωt] = exp[ω2t] = exp[−c2γμt] s charakteristickou dobou útlumu τ = |1/ω2| = 1/c2γμ. Povšimněte si, že při důsledném dodržení znaménkové konvence (u prostoru +, u času −) ve vlnění typu exp[i (kxωt)] vyšel útlum v čase i v prostoru.

Příklad 7: Vlny ve vlnovodu

Zadání: Nalezněte pomocí Fourierovy transformace vlnové rovnice řešení pro jednu ze složek elektrického pole v obdélníkovém vlnovodu. Z disperzní relace určete podmínky šíření vlny.

vlnovod

Řešení: Budeme hledat jen nejjednodušší ze složek: elektrické pole Ey. Toto pole míří ve směru osy y a obecně budeme předpokládat řešení ve tvaru:

Ey(t, x, z) = E0 exp[i (kxx + kzzωt)].

V ose x se mění velikost pole díky přítomnosti stěn (tečná složka elektrického pole je na vodivé stěně nulová), v ose z se vlna šíří a ke změně pole dojde například útlumem. Řešení je vzhledem k geometrii vlnovodu nezávislé na y (na normálovou složku nemáme na vodivé hranici žádné požadavky). Charakter řešení v proměnné x můžeme určit z podmínek pro tečnou složku pole na vodiči: 

Ey(t, 0, z) = Ey(t, a, z) = 0   pro každé   t, z

Ihned tak máme: 

Ey(t, x, z) = E0 sin(kxx) exp[i (kzzωt)],    kde kx = /a ,    m = 0, 1, 2,

Řešení musí jako celek splňovat vlnovou rovnici (Δ − c−22/∂t2) E = 0. Dosazením tohoto řešení do vlnové rovnice provádíme ve skutečnosti FT, protože každé řešení můžeme z rovinných vln složit. Po dosazení dostaneme: kx2kz2 + ω2/c2 = 0. Pro kx již máme podmínku z nulovosti tečných složek. Po dosazení této podmínky získáme jednoduchou disperzní relaci 

ω2 = m2ω02 + c2kz2,   ω0 ≡ /a,   m = 0, 1, 2, ... 

Číslo m charakterizuje jednotlivé mody šířící se vlnovodem. Veličina ω0 se nazývá mezní frekvence vlnovodu. Tato disperzní relace je po formální stránce identická s disperzní relací šíření řádné elektromagnetické vlny plazmatem z příkladu „Disperze“. Nalezení fázové a grupové rychlosti šíření vlny ve směru vlnovodu je také analogické

υf = ω/kz = c (1 + (mω0/ckz)2)1/2

υg = ∂ω/∂kz = c / (1 + (mω0/ckz)2)1/2

Je zřejmé, že fázová rychlost je opět vyšší než rychlost světla a grupová rychlost nižší než rychlost světla. Opět bychom mohli vlnový vektor kz vyjádřit za pomoci vlnové délky šíření světla ve směru vlnovodu (kz = 2π/λ). Tím je zřejmá závislost rychlosti šíření vlny na vlnové délce světla (disperze).  Současně vidíme, že pro ω > ω0 se vlnění bez problému šíří vlnovodem (alespoň základní mod m = 1) − disperzní relace je reálná. Při nižších frekvencích je vlnový vektor kz komplexní a dochází k útlumu.

Příklad 8: Sluneční světlo

Zadání: Sluneční záření má v okolí Země intenzitu I = 1.4 kW/m2 (tj. na každou plochu o rozměrech 1 m2 postavenou kolmo ke slunečnímu záření dopadá za každou sekundu energie 1400 J). Nalezněte průměrnou hodnotu intenzity elektrického a indukce magnetického pole v slunečním záření v místě, kde se nachází Země.

slunce

Řešení: Intenzita dopadající energie je dána velikostí Poyntingova vektoru: I = EH. Poměr elektrické intenzity a magnetické indukce v elektromagnetické vlně je E/B = c. (Odvození tohoto vztahu naleznete v příkladě „Vlny ve vakuu“). Oba vztahy můžeme chápat jako soustavu dvou rovnic pro elektrické a magnetické pole:

μ0I = EB;    E/B = c.

Vynásobením a vydělením obou rovnic dostaneme řešení:

E = (0I )1/2;    B = (μ0I /c )1/2.

Výsledek: E = 726 V/m, B = 2.4×10−6 T.

Příklad 9: Potenciály

Zadání: Nalezněte skalární potenciál bodového náboje a vektorový potenciál v homogenním magnetickém poli. Dokázali byste totéž sami ve složitější situaci (například elektrický dipól a magnetické pole kolem vodiče protékaného proudem)?

magnet

Řešení: Skalární (Coulombův) potenciál bodového náboje je natolik známý, že jeho odvození přencháme čtenáři. Výsledek je ϕ = Q/(4πε0r). Nalezněme proto jen vektorový potenciál pro homogenní magnetické pole B = (0, 0, B). Pro vektorový potenciál musí platit B = rot A, tj:

Az/∂y − Ay/∂z = 0,

Ax/∂z − Az/∂x = 0,

Ay/∂x − Ax/∂y = B.

V ose z míří magnetické pole, osa z je osou symetrie a proto nemůže vektorový potenciál záviset na souřadnici z (∂/∂z = 0):

Az/∂y = 0,

Az/∂x = 0,

Ay/∂x − Ax/∂y = B.

Z prvních dvou rovnic plyne, že komponenta Az je libovolná konstanta, stačí tedy volit Az = 0. Z poslední rovnice nejsou potenciály Ax a Ay určeny jednoznačně. Řešením je například Ay = Bx, Ax = 0, nebo Ay = 0, Ax = − By, nebo kombinace obou řešení. Nejčastěji se pro vyjádření potenciálu v homogenním magnetickém poli používá některý z následujících výrazů:

A = (0, Bx , 0);

A = (− By, 0, 0);

A = (−By/2, Bx/2, 0)

Použijete-li libovolný výraz a provedete rotaci, vždy dostanete pole B = (0, 0, B). Vektorový potenciál není jednoznačně určen.


bullet


bullet Aldebaran Homepage Aldebaran Homepage