Fyzika II

KMITY

bullet
Local menu    Harmonický oscilátor
Local menu Tlumené kmity
Local menu Vynucené kmity
Local menu Skládání kmitů
bullet

Harmonický oscilátor

Následující tvrzení jsou pro harmonický oscilátor charakteristická, každé z nich lze chápat jako definici harmonického oscilátoru. Tvrzení jsou navzájem ekvivalentní.

Wp = 1/2 k y 2 Systém má parabolickou závislost potenciální energie. Má-li průběh potenciální energie minimum, bude systém vždy vykonávat kmity. Potenciální energii s minimem lze pro malé výchylky nahradit parabolou a libovolný systém s minimem potenciální energie tak aproximovat harmonickým oscilátorem (prohlédněte si příklad „Morseův potenciál“ nebo „Oběh Země kolem Slunce“). Význam konstanty k: Je dána druhou derivací potenciální energie v minimu, tj. k = Wp″. Tato konstanta udává strmost paraboly či tuhost oscilátoru.
F = − ky Síla je úměrná výchylce z rovnovážné polohy a má opačný směr. Tento vztah plyne z předchozího okamžitě (F = −dWp/dy). 
d2y/dt2 + ω02 y = 0 Systém se řídí diferenciální rovnicí pro kmity: Tento vztah odvodíme z předchozí pohybové rovnice (d2y/dt2 = F) . Mezi frekvencí a tuhostí platí vztah ω0= k/m.
y(t) = c1 eiωt + c2 e−iωt 
y(t) = a cos (ωt) + b sin (ωt
y(t) = A cos (ωt + φ) .
Systém kmitá periodicky podle některé z těchto závislostí. Všechna vyjádření jsou řešením diferenciální rovnice harmonických oscilací a jsou vzájemně ekvivalentní. Mezi dvojicemi integračních konstant (c1, c2), (a, b), (A, φ) existují jednoduché převody.

Tlumené kmity

d2y/dt2 + 2δ dy/dt + ω02 y = 0 Tlumený oscilátor splňuje diferenciální rovnici kmitů doplněnou o člen s útlumem.
y(t) = A0 eδ t cos (ωt + φ) Řešení rovnice tlumených kmitů.
ω2 = ω02δ2 Kvadrát frekvence tlumených kmitů.
A(t) = A0 eδ t Exponenciální pokles amplitudy A(t) u tlumeného kmitu.
E(t) = E0 e2δ t Celková energie je úměrná kvadrátu amplitudy a proto klesá podle tohoto vztahu.
δ Koeficient útlumu.
Λ = δT Logaritmický dekrement útlumu.

Vynucené kmity

d2y/dt2 + 2δ dy/dt + ω02 y =
= F0/m exp(i Ωt
Vynucený oscilátor splňuje rovnici tlumených oscilací doplněnou o vnější periodickou sílu o frekvenci Ω. V principu může být vnější síla jakákoli. Vzhledem k tomu, že problém je lineární, můžeme libovolnou sílu složit z harmonických sil typu exp(iΩt).
y(t) = A0 eδ t cos (ωt+φ) +
+ A exp(iΩt)
Řešení rovnice vynucených kmitů. První člen je řešení homogenní rovnice, představuje tlumený kmit, který postupně ustane. Jde tedy jen o přechodový jev. Druhý člen je partikulární řešení, které bude jediným nenulovým řešením po dosti dlouhé době. Jde o vynucený kmit s frekvencí vnější síly. Amplituda je obecně komplexní číslo, které způsobuje fázový posun vynuceného kmitu oproti vnější síle.
eq Velikost amplitudy vynucených oscilací.
eq Velikost střední hodnoty přeneseného výkonu.
eq Amplitudová rezonance. Podmínka maximální amplitudy vynucených kmitů.
Ωmax = ω0 Výkonová rezonance. Podmínka pro maximální přenesený výkon. Maximální amplituda vynucených kmitů (amplitudová rezonance) tedy nastává při jiné frekvenci vnější síly než maximum přeneseného výkonu (výkonová rezonance) Prohlédněte si příklad „Amplitudová a výkonová rezonance“.

Skládání kmitů

Je-li systém lineární, platí princip superpozice a kmity lze skládat. Obecné kmity můžeme psát jako superpozici několika základních modů. Kmitá-li celý komplikovaný systém na jedné jediné frekvenci, hovoříme o tzv. vlastní frekvenci. Systémy zpravidla mají několik různých vlastních frekvencí. Při skládání kmitů ve stejném směru vznikají pro dvě blízké frekvence rázy (prohlédněte si příklad „Skládání kmitů, vlastní frekvence“, prohlédněte si aplet „Rázy“). Při skládání kmitů ve dvou navzájem kolmých směrech vznikají pro frekvence v poměru malých celých čísel tzv. Lissajousseovy obrazce.


bullet


bullet Aldebaran Homepage Aldebaran Homepage