FYZIKA I • FYZIKA II • FYZIKA • TEORETICKÁ MECHANIKA (TF1) • KVANTOVÁ TEORIE (TF2)
STATISTICKÁ FYZIKA (TF3) • VZTAH MATEMATIKY A FYZIKY (TF4) • OBECNÁ RELATIVITA (TF4)
ELEKTROMAGNETICKÉ POLE (TF4) • FYZIKA PLAZMATU • ASTROFYZIKA • ASTRONOMICKÝ KURZ
ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS (MIT) • MODULY • STŘEDNÍ ŠKOLY

FYZIKA – OPTIKA (PŘÍKLADY)

	Osvětlení
	Youngův experiment
	Antireflexní vrstva
	Mřížka I
	Mřížka II
	Čtvrtvlnná destička
	Fotoaparát
	Zrcadlo
	Fermatův princip

Příklad 1: Osvětlení

Zadání: Lampa je umístěna nad kulatým stolem o poloměru R v jeho středu. Určete optimální výšku lampy nad stolem tak, aby osvětlení knihy ležící na okraji stolu bylo maximální.

Předpoklady: Zdroj je dostatečně malý, vlnoplochu považujte za kulovou.

Řešení: Osvětlení, stejně tak jako tok světelné energie, ubývá s druhou mocninou vzdálenosti r od zdroje a závisí na úhlu dopadu:

I = I₀ cos α / r².

Dosadíme-li  cos α = h/r a za vzdálenost r z Pythagorovy věty r = (h² + R²)^1/2, získáme závislost:

I (h) = I₀h / (h² + R²)^3/2.

Při maximálním osvětlení musí být derivace této funkce podle h nulová, což vede na podmínku:

(h² + R²)^3/2 − 3 h² (h² + R²)^1/2 = 0.

Po vydělení rovnice členem (h² + R²)^1/2 snadno nalezneme řešení

h = R / 2^1/2 .

Příklad 2: Youngův experiment

Zadání: Určete polohu prvního maxima a prvního minima v Youngově experimentu se světlem o vlnové délce λ = 500 nm. Vzdálenost štěrbin je d = 1 mm, vzdálenost stínítka L = 5 m.

Řešení: Rozdíl optických drah (index lomu je roven jedné) bude

Výsledek: Podmínka pro první maximum tedy bude y d/L = λ a podmínka pro první minimum y d/L = λ/2. Odsud snadno určíme hodnoty y. První maximum bude ve vzdálenosti y = 2.5 mm a první minimum ve vzdálenosti 1.25 mm.

Příklad 3: Antireflexní vrstva

Zadání: Na skleněné podložce o indexu lomu n_s = 1.5 je napařena vrstva laku tloušťky 0.5 μm s indexem lomu n_l = 1.6. Určete, které vlnové délky z viditelného spektra budou chybět v kolmo odraženém světle.

Řešení: Rozdíl optických drah na odrazu na horní a spodní vrstvě laku je 2n_l d. Nesmíme zapomenout, že při odrazu na opticky hustším prostředí, (vrchní vrstva laku) se mění fáze na protifázi. V našem případě se tedy podmínky maxim a minim vymění. Pro minima tak máme:

2n_l d = mλ     ⇒      λ_m = 2n_l d / m.

Výsledek: Do oblasti viditelného spektra spadají vlnové délky: 800 nm, 533 nm a 400 nm.

Příklad 4: Mřížka I

Zadání: Nalezněte součet rovinných vln ze všech rozptylových center mřížky. Určete skutečný průběh světelné intenzity světla prošlého mřížkou.

Řešení: Dva sousední paprsky jsou vzájemně fázově posunuty o Δφ = kd sin θ = (2πnd/λ) sin θ. Je tedy nutné sečíst

Vzhledem k tomu, že nás zajímá intenzita světla I ~ EE*, nejsou násobící komplexní jednotky v posledním výrazu ani vypsány. Intenzita světla po průchodu mřížkou zjevně je

Tento průběh intenzity není vůbec jednoduchý, má celou řadu maxim a minim, z nichž jen některá maxima jsou opravdu výrazná. V těchto maximech je Δφ/2 = jπ, což vede na známou podmínku maxim na mřížce nd sin θ = jλ.

Příklad 5: Mřížka II

Zadání: Mřížka má 300 vrypů na milimetr. Určete kolik řádů spekter mohu pozorovat.

Předpoklady: Mřížku tvoří soustava vrypů na skleněné destičce s indexem lomu n = 1.5 a spektra se pozorují v prošlém světle.

Řešení: Spektra vznikají ve směrech  hlavních maxim daných podmínkou

nd sin θ = mλ,    m = 1, 2, 3, ...

Teoreticky je maximální možný řád spektra omezen vztahem sin θ < 1 a proto

m_max, teor = nd / λ .

Vzdálenost vrypů je 1/300 mm. Chceme-li, aby i poslední spektrum mělo zobrazené všechny viditelné barvy od fialové po červenou, musíme za vlnovou délku vzít hodnotu červeného okraje spektra λ = 750 nm, vyjde maximální teoretický řád spektra 6.

Příklad 6: Čtvrtvlnná destička

Zadání: Nalezněte tloušťku čtvrtvlnné destičky vyrobené z berylu pro světlo o vlnové délce λ = 500 nm. Podívejte se na tabulku Indexy lomu.

Řešení: Řádná a mimořádná vlna mají vzájemně kolmé polarizace. Posunou-li se fázově o 90°, vznikne kruhově polarizovaná vlna. K tomu dojde, je-li řez tak tlustý, aby rozdíl optických drah byl λ/4:

(n_e − n_o) d = λ/4.

Odsud snadno určíme tloušťku destičky d.

Výsledek: d = 15.6 µm.

Příklad 7: Fotoaparát

Zadání: Velikost stromu na filmu je | y′| = 15 mm. Strom byl vysoký y = 15 m a vzdálený od fotoaparátu a = 45 m. Určete ohniskovou vzdálenost objektivu fotoaparátu.

Předpoklady: Objektiv fotoaparátu chápeme jako spojnou čočku s  f = f ′.

Řešení: Kombinací rovnice pro zvětšení z = | a′/a | = | y′/y | a zobrazovací rovnice f /a + f ′/a′ = 1 snadno nalezneme výsledek. Pozor na zvolenou znaménkovou konvenci!

Výsledek: f  ≈ 4.5 cm.

Příklad 8: Zrcadlo

Zadání: Dutým zrcadlem pozoruji vlastní oko ze vzdálenosti l = 30 cm od vrcholu zrcadla. Oko vidím dvojnásobně zvětšené. Nakreslete chod paprsků a určete poloměr křivosti zrcadla.

Řešení: Zadané hodnoty jsou podle znaménkové konvence (vše měřeno vzhledem k S) a = –(2R–l), z udaného zvětšení plyne a′ = 2(2R–l), pro ohniskové vzdálenosti  plyne f = –R /2,  f ′ = + R /2. Ze zobrazovací rovnice f /a + f ′/a′ = 1 již snadno dopočteme výsledek.

Výsledek: Poloměr křivosti zrcadla je 120 cm.

Příklad 9: Fermatův princip

Zadání: Odvoďte zákon lomu z Fermatova principu.

Řešení: Ze všech možných trajektorií bude realizována trajektorie s minimální dobou chodu paprsku z bodu A do bodu B. Pro červenou trajektorii na obrázku je celková doba

t_AB = [x² + y_A²]^1/2 / υ_A + [(L−x)² + y_B²]^1/2 / υ_B .

Tuto závislost derivujeme podle proměnné x a položíme rovnou nule (nutná podmínka minima). Získáme tak podmínku

υ_B x / [x² + y_A²]^1/2 − υ_A (L−x) / [(L−x)² + y_B²]^1/2 ,

neboli

υ_B sin α − υ_A sin β = 0     ⇒      sin  α / sin β = υ_A / υ_B .

Termo	Kmity	Vlny	Elmg	Optika	Relativita	Kvanta
Příklady	Příklady	Příklady	Příklady	Příklady	Příklady	Příklady