Fyzika II

VLNY – PŘÍKLADY

bullet
Local menu    Nadsvětelné rychlosti − prasátko
Local menu Nadsvětelné rychlosti − kvazary
Local menu Kruhová vlna na membráně
Local menu Detonační vlna
Local menu Hluk
Local menu Ladička
Local menu Rotující hvězda
Local menu Disperzní relace
Local menu Směrový diagram
bullet

Příklad 1: Nadsvětelné rychlosti − „prasátko“

Zadání: Světelným zdrojem můžeme otočit o 90° za 0.1 s. Jak daleko musí být projekční plocha, aby se světelná skvrna (prasátko) pohybovala nadsvětelnou rychlostí?

baterka

Řešení: Úhlová rychlost prasátka je ω = Δφt. Obvodová rychlost na projekční stěně ve vzdálenosti l bude υ = lω. Tato rychlost má být větší než rychlost světla c. Odsud plyne podmínka l > cΔtφ.

Výsledek: l > 20 000 km. To je podstatně méně než je oběžná dráha Měsíce (384 000 km!) a srovnatelné s oběžnými výškami některých sond.

Příklad 2: Nadsvětelné rychlosti − kvazary

Zadání: Vzdálený objekt se pohybuje směrem k pozorovateli pod malým úhlem téměř rychlostí světla. Určete, jakou rychlost naměří pozorovatel.

kvazar

Řešení: Poloha objektu je dána vztahy:

x(t) = υt sin α,

y(t) = y0 υt cos α.

Signál k pozorovateli přichází se zpožděním v čase

τ = t + y(t)/c.

Rychlost, kterou bude pozorovat pozorovatel proto bude

eq

Je zřejmé, že pro malé úhly tato fiktivní pozorovaná rychlost snadno převýší rychlost šíření světla.

Příklad 3: Kruhová vlna na membráně

Zadání: Tenkou pružnou homogenní membránu ve tvaru kruhu o poloměru 1,5 m ve středu prudkým úderem paličkou vychýlíme o 1 cm. Hlavice paličky má tvar válce o průměru 1,5 cm. Osa hlavice paličky při úderu byla kolmá na rovinu membrány. Rychlost úderu a tuhost membrány byly takové, že se při úderu protáhla membrána pouze v bezprostředním okolí hlavice paličky. Jaká bude amplituda vlny vzniklé na okraji membrány? Útlum a energii předanou zpět paličce zanedbejte.

kola

Řešení: U kruhové vlny pro amplitudu platí A ~ r−1/2. Proto A2 = A1 (r1/r2)1/2. Pro hodnoty r1 = 15 mm, r2 = 1 500 mm, A1 = 10 mm vyjde A2 = 1 mm.

Výsledek: Amplituda vlny na okraji membrány bude 1 mm.

(Autor: Vítězslav Kříha, v. h.)

Příklad 4: Detonační vlna

Zadání: Při explozi nálože byla uvolněna energie 105 J. Exploze trvala 1 s. Jaká bude maximální intenzita detonační vlny ve vzdálenosti 10 metrů od exploze a ve vzdálenosti 20 metrů od exploze?

exploze

Předpoklady: Detonační vlna je kulově symetrická.

Řešení: I = ΔE/(ΔS Δt) = ΔE/(4πr2 Δt)

Výsledek: I1 = 80 Wm−2, I2 = 20 Wm−2.

Příklad 5: Hluk

hluk

Zadání: Jak se sníží hladina hluku, vzdálím-li se od zdroje hluku do dvojnásobné vzdálenosti?

Předpoklady: Zdroj hluku je malý vzhledem ke vzdálenostem, ve kterých posloucháme a hluk se šíří sféricky symetricky.

Řešení: Intenzita je úměrná kvadrátu amplitudy a pro kulovou vlnu je I ~ 1/r2. Proto ve dvojnásobné vzdálenosti bude I2 = I1/4. Hladina hluku se sníží o ΔL = 10 log(I1/I0) − 10 log(I2/I0) = 10 log(I1/I2) = 10 log(4).

Výsledek: ΔL = 6 dB.

Příklad 6: Ladička

Zadání: Zdroj zvuku se pohybuje na vozíku rychlostí υ = 25 cm s−1 směrem ke stěně. Na opačné straně slyší pozorovatel rázy na frekvenci fr = 3 Hz. Jaká byla frekvence zdroje zvuku, jestliže je rychlost zvuku cs = 340 m/s?

ucho

Řešení: Pozorovatel slyší jednak přímou vlnu nižší frekvence (zdroj se vzdaluje) a jednak vlnu odraženou od stěny (vyšší frekvence − zdroj se pohybuje ke stěně). Obě vlny se skládají v rázy na rozdílové frekvenci:

f1 = f0 (1 − υ/cs),  f2 = f0 (1 + v/cs),  fr = f2f1 = 2 f0v/cs.

Korekce frekvence na pohyb zdroje jsme napsali do čitatele (υ<<cs). Vidíme, že f0 = frcs / (2υ).

Výsledek: f0 = 2040 Hz.

Příklad 7: Rotující hvězda

Zadání: Nalezněte vztah pro rozšíření spektrální čáry způsobené rotací hvězdy. Vztah přepište pro vlnovou délku čar.

hvězda

Řešení: Rotace hvězdy způsobuje, že jeden okraj hvězdy se k nám přibližuje rychlostí v = R ω a druhý okraj se toutéž rychlostí vzdaluje. R je poloměr hvězdy a ω úhlová rychlost rotace hvězdy. Výsledkem je dopplerovské rozšíření spektrální čáry. Krajní frekvence budou dány vztahy  f1,2 = f0 (1 ± /c) a krajní vlnové délkay λ1,2 = c/[f0 (1 ± /c)] ~ (c ± )/f0. Opět jsme využili toho, že korekce jsou malé a lze je se změnou znaménka převézt z jmenovatele do čitatele (1/[1 + x] ~ [1 − x]). Rozdíl vlnových délek obou čar tedy bude Δλ = 2/f0.

Příklad 8: Disperzní relace

Zadání: Standardní disperzní relace rovinné elektromagnetické vlny ω2 = c2 k2 je při průchodu světla plazmatem modifikována na tvar ω2 = ωp2 + c2 k2. Rychlost šíření světla ve vakuu je označena c. Veličina ωp se nazývá plazmová frekvence (jde o frekvenci oscilací elektronů kolem iontů). Nalezněte závislost ω(k) a diskutujte její průběh. Určete fázovou a grupovou rychlost šíření této vlny.

Poznámka: Připomeňme si, že platí vztahy 

ω = ∂φ/∂t = 2π/T;        k = ∂φ/l = 2π/λ.

Průběh disperzní relace:

eq          diag

Z grafu je zřejmé, že vlna se šíří jen pro frekvence ω > ωp. Při nižších frekvencích elektromagnetické vlny se elektrony prostředí totiž „stihnou“ rozkmitat a vlna je absorbována, plazma je pro takovou vlnu neprůhledné.

Fázová rychlost:

eq

Fázová rychlost závisí na vlnové délce vlny (disperze!) a je větší než rychlost světla.

Grupová rychlost:

eq

Grupová rychlost je menší než rychlost šíření světla (jde o rychlost šíření informace).

Příklad 9: Směrový diagram

Zadání: Nalezněte tvar vlnoploch pro vlnu s disperzní relací  ω2 = ωp2 + c2 k2 cos2 α.

Řešení: Směrový diagram je závislost velikosti fázové rychlosti na úhlu α v polárním diagramu. Zřejmě je:

eq          diag

bullet


bullet Aldebaran Homepage Aldebaran Homepage