FYZIKA I • FYZIKA II • FYZIKA • TEORETICKÁ MECHANIKA (TF1) • KVANTOVÁ TEORIE (TF2)
STATISTICKÁ FYZIKA (TF3) • VZTAH MATEMATIKY A FYZIKY (TF4) • OBECNÁ RELATIVITA (TF4)
ELEKTROMAGNETICKÉ POLE (TF4) • FYZIKA PLAZMATU • ASTROFYZIKA • ASTRONOMICKÝ KURZ
ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS (MIT) • MODULY • STŘEDNÍ ŠKOLY

FYZIKA – VLNY (PŘÍKLADY)

	Nadsvětelné rychlosti − prasátko
	Nadsvětelné rychlosti − kvazary
	Kruhová vlna na membráně
	Detonační vlna
	Hluk
	Ladička
	Rotující hvězda
	Disperzní relace
	Směrový diagram

Příklad 1: Nadsvětelné rychlosti − „prasátko“

Zadání: Světelným zdrojem můžeme otočit o 90° za 0.1 s. Jak daleko musí být projekční plocha, aby se světelná skvrna (prasátko) pohybovala nadsvětelnou rychlostí?

Řešení: Úhlová rychlost prasátka je ω = Δφ/Δt. Obvodová rychlost na projekční stěně ve vzdálenosti l bude υ = lω. Tato rychlost má být větší než rychlost světla c. Odsud plyne podmínka l > cΔt/Δφ.

Výsledek: l > 20 000 km. To je podstatně méně než je oběžná dráha Měsíce (384 000 km!) a srovnatelné s oběžnými výškami některých sond.

Příklad 2: Nadsvětelné rychlosti − kvazary

Zadání: Vzdálený objekt se pohybuje směrem k pozorovateli pod malým úhlem téměř rychlostí světla. Určete, jakou rychlost naměří pozorovatel.

Řešení: Poloha objektu je dána vztahy:

x(t) = υt sin α,

y(t) = y₀ − υt cos α.

Signál k pozorovateli přichází se zpožděním v čase

τ = t + y(t)/c.

Rychlost, kterou bude pozorovat pozorovatel proto bude

Je zřejmé, že pro malé úhly tato fiktivní pozorovaná rychlost snadno převýší rychlost šíření světla.

Příklad 3: Kruhová vlna na membráně

Zadání: Tenkou pružnou homogenní membránu ve tvaru kruhu o poloměru 1,5 m ve středu prudkým úderem paličkou vychýlíme o 1 cm. Hlavice paličky má tvar válce o průměru 1,5 cm. Osa hlavice paličky při úderu byla kolmá na rovinu membrány. Rychlost úderu a tuhost membrány byly takové, že se při úderu protáhla membrána pouze v bezprostředním okolí hlavice paličky. Jaká bude amplituda vlny vzniklé na okraji membrány? Útlum a energii předanou zpět paličce zanedbejte.

Řešení: U kruhové vlny pro amplitudu platí A ~ r^−1/2. Proto A₂ = A₁ (r₁/r₂)^1/2. Pro hodnoty r₁ = 15 mm, r₂ = 1 500 mm, A₁ = 10 mm vyjde A₂ = 1 mm.

Výsledek: Amplituda vlny na okraji membrány bude 1 mm.

(Autor: Vítězslav Kříha, v. h.)

Příklad 4: Detonační vlna

Zadání: Při explozi nálože byla uvolněna energie 10⁵ J. Exploze trvala 1 s. Jaká bude maximální intenzita detonační vlny ve vzdálenosti 10 metrů od exploze a ve vzdálenosti 20 metrů od exploze?

Předpoklady: Detonační vlna je kulově symetrická.

Řešení: I = ΔE/(ΔS Δt) = ΔE/(4πr² Δt)

Výsledek: I₁ = 80 Wm⁻², I₂ = 20 Wm⁻².

Příklad 5: Hluk

Zadání: Jak se sníží hladina hluku, vzdálím-li se od zdroje hluku do dvojnásobné vzdálenosti?

Předpoklady: Zdroj hluku je malý vzhledem ke vzdálenostem, ve kterých posloucháme a hluk se šíří sféricky symetricky.

Řešení: Intenzita je úměrná kvadrátu amplitudy a pro kulovou vlnu je I ~ 1/r². Proto ve dvojnásobné vzdálenosti bude I₂ = I₁/4. Hladina hluku se sníží o ΔL = 10 log(I₁/I₀) − 10 log(I₂/I₀) = 10 log(I₁/I₂) = 10 log(4).

Výsledek: ΔL = 6 dB.

Příklad 6: Ladička

Zadání: Zdroj zvuku se pohybuje na vozíku rychlostí υ = 25 cm s⁻¹ směrem ke stěně. Na opačné straně slyší pozorovatel rázy na frekvenci f_r = 3 Hz. Jaká byla frekvence zdroje zvuku, jestliže je rychlost zvuku c_s = 340 m/s?

Řešení: Pozorovatel slyší jednak přímou vlnu nižší frekvence (zdroj se vzdaluje) a jednak vlnu odraženou od stěny (vyšší frekvence − zdroj se pohybuje ke stěně). Obě vlny se skládají v rázy na rozdílové frekvenci:

f₁ = f₀ (1 − υ/c_s),  f₂ = f₀ (1 + v/c_s),  f_r = f₂ − f₁ = 2 f₀v/c_s.

Korekce frekvence na pohyb zdroje jsme napsali do čitatele (υ<<c_s). Vidíme, že f₀ = f_rc_s / (2υ).

Výsledek: f₀ = 2040 Hz.

Příklad 7: Rotující hvězda

Zadání: Nalezněte vztah pro rozšíření spektrální čáry způsobené rotací hvězdy. Vztah přepište pro vlnovou délku čar.

Řešení: Rotace hvězdy způsobuje, že jeden okraj hvězdy se k nám přibližuje rychlostí v = R ω a druhý okraj se toutéž rychlostí vzdaluje. R je poloměr hvězdy a ω úhlová rychlost rotace hvězdy. Výsledkem je dopplerovské rozšíření spektrální čáry. Krajní frekvence budou dány vztahy  f_1,2 = f₀ (1 ± Rω/c) a krajní vlnové délkay λ_1,2 = c/[f₀ (1 ± Rω/c)] ~ (c ± Rω)/f₀. Opět jsme využili toho, že korekce jsou malé a lze je se změnou znaménka převézt z jmenovatele do čitatele (1/[1 + x] ~ [1 − x]). Rozdíl vlnových délek obou čar tedy bude Δλ = 2Rω/f₀.

Příklad 8: Disperzní relace

Zadání: Standardní disperzní relace rovinné elektromagnetické vlny ω² = c² k² je při průchodu světla plazmatem modifikována na tvar ω² = ω_p² + c² k². Rychlost šíření světla ve vakuu je označena c. Veličina ω_p se nazývá plazmová frekvence (jde o frekvenci oscilací elektronů kolem iontů). Nalezněte závislost ω(k) a diskutujte její průběh. Určete fázovou a grupovou rychlost šíření této vlny.

Poznámka: Připomeňme si, že platí vztahy 

ω = ∂φ/∂t = 2π/T;        k = ∂φ/l = 2π/λ.

Průběh disperzní relace:

Z grafu je zřejmé, že vlna se šíří jen pro frekvence ω > ω_p. Při nižších frekvencích elektromagnetické vlny se elektrony prostředí totiž „stihnou“ rozkmitat a vlna je absorbována, plazma je pro takovou vlnu neprůhledné.

Fázová rychlost:

Fázová rychlost závisí na vlnové délce vlny (disperze!) a je větší než rychlost světla.

Grupová rychlost:

Grupová rychlost je menší než rychlost šíření světla (jde o rychlost šíření informace).

Příklad 9: Směrový diagram

Zadání: Nalezněte tvar vlnoploch pro vlnu s disperzní relací  ω² = ω_p² + c² k² cos² α.

Řešení: Směrový diagram je závislost velikosti fázové rychlosti na úhlu α v polárním diagramu. Zřejmě je:

Termo	Kmity	Vlny	Elmg	Optika	Relativita	Kvanta
Příklady	Příklady	Příklady	Příklady	Příklady	Příklady	Příklady