Fyzika 1 B3B02FY1, vybrané řešené příklady

Semestr: letní, 2019/20, Vyučující: Martin Žáček, Datum: 2020-04-05

Příklad 2.12 - pád tělesa do studny

Student se na zámku Zbiroh se naklání nad studnu, přičemž mu do ní z náprsní kapsy košile vypadnep pětikoruna. Ihned zapne stopky na mobilním telefonu a změří, že žuchnutí mincedno uslyší za čas $t=6.24\text{ s}$ po vypadnutı mince. Tíhové zrychlení je rovno $g=9.81\text{ m}\,\text{s}^{-2}$, rychlost zvuku ve studni je $c=340\text{ m}\,\text{s}^{-1}$.

Řešení:

Vztah mezi hloubkou studny $h$ a dobou pádu $t_1$ (vezmeme-li za počáteční čas $t_0=0$, bude $t_1$ zároveň okamžik dopadu) plyne z obecného vzorce pro polohu rovnoměrně zrychleného pohybu, ze kterého po dosazení zadaných veličin snadno dostaneme $$h={{1}\over{2}}g t_1^2.$$ V čase $t_1$ vznikne zvuk žuchnutí, který se šíří rychlostí $c$ ze dna studny ke studentovi, ke kterému dorazí v čase $t_2$. Vztah mezi uraženou délkou a časovým rozdílem plyne ze vztahu mezi dráhou a časem pro rovnoměrný pohyb, popřípadě pro průměrnou rychlost (náš případ je zvláštní případ téhož, kdy rychlost je navíc konstantní): $$t_2-t_1={{h}\over{c}}.$$ Oba vztahy představují soustavu soustavu rovnic pro $t_1$ a $h$, přičemž $t_1$ zadání nepožaduje a $h$ je výsledek. $t_2=6.24\text{ s}$ je zadáno, pouze jsme si přeznačili, aby bylo zřejmé, že jde o bod na ose $t$. Neznámou $t_1$ ze soustavy vyloučíme vyjádřením ze druhého vztahu a dosazením do prvního, čímž dostaneme kvadratickou rovnici pro neznámou $h$: $$h={{1}\over{2}}g \left(t_2-{h\over{c}}\right)^2.$$ Po úpravě na kvadraticku rovnici s rozepsanými členy seřazenými podle mocnin $h$ dostaneme $$h^2-2h\left(t_2c+{{c^2}\over{g}}\right)+{{1}\over{2}}t_2^2c^2=0.$$ Diskriminant kvadradické rovnice je $$D=4\left(t_2^2+{{c}\over{g}}\right)^2c^2-4 t_2^2c^2,$$ po zjednodušení máme $$D={{4 c^4}\over{g^2}}\left({{2 t_2g}\over{c}}+1\right).$$ Řešení získáme dosazením do vzorce pro kořeny kvadratické rovnice, po zjednodušení máme $$h_{1,2}={{c^2}\over{g}}\left({{t_2g}\over{c}}+1\pm\sqrt{{{2 t_2g}\over{c}}+1}\right).$$ Po dosazení zadaných hodnot získáme jedno řešení $h_1=162.8\text{ m}$ a druhé řešení $h_2=27\,648\text{ m}$. Druhé řešení však nevyhovuje zadání. Zpětným výpočetem času dopadu $t_1$ z druhé rovnice výchozí soustavy rovnic totiž zjistíme, že tento čas vyjde záporný, -75 s. Interpretace je taková, že nejde o volný pád ale svislý vrh započatý v takovém čase a v takové hloubce, aby pohyb kulminoval v čase 0 přesně v místě, kde se nachází student, přičemž zvuk vyslaný na počátku svislého vrhu dorazí se zpožděním v čas, který je zadaný jako odměřený na stopkách od okamžiku začátku pádu.
Kromě záporného času a rozporu se zadáním proto, že zadaný byl volný pád, nikoliv svislý vrh, by takový pohyb musel začít v hloubce přes 27 km, kdy by již nemusela být dostatečně splněna podmínka homogenního gravitačního pole s konstantním zrychlením. Navíc takovou studnu nelze současně dostupnými technickými prostředky navrtat a na některých místech by její hloubka mohla překonat tloušťku zemské kůry.

Nenechte se zmást tím, že zvuk dorazí až za tělesem. Fyzikálně jde přesto o možné řešení. Část pohybu by totiž probíhala nadzvukovou rychlostí. To lze ověřit hrubým odhadem, rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu je lineární funkce času, zrychlení je $g$, vynásobením času 75 s gravitačním zrychlením získáme odhad počáteční rychlosti svislého vrhu blížící se 750 m/s.

Dopočítáme-li čas $t_1$ pro první řešení, dostaneme hodnotu 5.76 s. Ta již odpovídá očekávání.

Ověřte si správnost řešení na Wolgram Alpha, zapište do dotazovacího pole řádek "solve{h=(g t_1^2/2), t_2-t_1=h/c, h, t_1}" (pro přehlednost byly proměnné nazvány shodně s tímto textem) nebo použijte přímý odkaz.