Bohrův model vodíkového atomu
Matematický doplněk

Záporně nabitý elektron je přitahován ke kladně nabitému jádru. Aby se udržel na stabilním orbitu, musí toho jádro obíhat. V takovém případě je síla elektrostatická síla silou dostředivou.

m v2
r
= e2
4 π ε0 r2

m … hmotnost elektronu
v … rychlost elektronu
r … poloměr orbitu
e … velikost elementárního náboje
ε0 … permitivita vakua

Nicméně, povolené poloměry orbitu jsou jen ty, pro které je moment hybnosti celočíselným násobkem h/.

Bohrova kvantová podmínka:
 
r m v = n · h
2 π

r … poloměr orbitalu
m … hmotnost elektronu
v … rychlost elektronu
n … hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, …)
h … Planckova konstanta

Bohrova kvantovací podmínka říká, že přijmeme-li myšlenku de Brogliho hmotné vlny, pak elektronu odpovídá vlnění s vlnovou délkou λ = h / (m v). Pro existenci stojaté vlny okolo jádra je nezbytné, aby obvod orbitu byl celočíselným násobkem vlnové délky. Tedy dostáváme 2 π r = h / (m v), což potvrzuje předchozí kvantovou podmínku.

Řešením druhé rovnice a dosazením výsledku do první dostaneme následující výsledek pro povolené (možné) poloměry:

Poloměry orbitů pro hlavní kvantové číslo n:
 
r = h2 ε0
m e2 π
· n2

h … Planckova konstanta
ε0 … permitivita vakua
m … hmotnost elektronu
e … velikost elementárního náboje
n … hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, …)

Užitím vztahu   E   =   Epot + Ekin   =   – e2 / (4 π ε0 r) + (m / 2) v2, dostaneme:

Energie vodíkového atomu ve stavu popsaném hlavním kvantovým číslem n:
 
E =  – m e4
8 ε02 h2
· 1
 n2

m … hmotnost elektronu
e … elementární náboj
ε0 … permitivita vakua
h … Planckova konstanta
n … hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, …)

Přesně řečeno je nutné ještě udělat malou opravu tohoto vzorce. Hmotnost jádra je jistě mnohonásobně větší než hmotnost elektronu, ale nikoliv ne nekonečně. Takže elektrony společně s jádrem obíhají okolo společného hmotného středu, který není zcela identický se středem atomu. Jestliže toto vezmeme v úvahu, musíme nahradit hmotnost elektronu (m) takzvanou redukovanou hmotností (m'), kterou získáme dle následujícího vzorce:

Redukovaná hmotnost elektronu:
 
m' = mj m
mj + m

m … hmotnost elektronu
mj … hmotnost jádra


URL: http://www.walter-fendt.de/ph14cz/bohrmath_cz.htm
© Walter Fendt, May 29, 1999
© Překlad do češtiny: Miroslav Panoš, Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy
Last modification: September 6, 2009

back Zpět na hlavní stránku