OBSAHNewtonův gravitační zákonGravitaceObecná teorie relativity

SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY

Na této stránce naleznete:
     Trocha historie
Základní principy
Lorentzova transformace
Základní vztahy
Některé čtyřvektory


Trocha historie

Na konci minulého století se fyzika dostala do nezáviděníhodné situace. Podle klasické mechaniky, jejíž počátky se datují do doby Galilea, má platit princip skládání rychlostí. Naopak z rovnic elektromagnetického pole (Maxwellových rovnic) plynulo, že se světlo má  šířit stále stejnou rychlostí, bez ohledu na zvolený souřadnicový systém. Tento fakt souvisí s transformačními vlastnostmi Maxwellových rovnic, které poprvé studoval Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928).

Celou řadou experimentů bylo prokázáno, že správný je výsledek plynoucí z Maxwellových rovnic. Světlo se ve všech souřadnicových systémech pohybuje stejnou rychlostí nezávisle na pohybu zdroje. První z experimentů tohoto typu byl slavný experiment Alberta Abrahama Michelsona (1852-1931), který interferometricky měřil změnu rychlosti pohybu světla napříč a podél pohybu Země kolem Slunce. Výsledek experimentu byl záporný, žádná závislost rychlosti světla na pohybu zdroje nebyla pozorována. Experiment byl proveden v roce 1887 a Michelson za jeho přípravu a provedení získal Nobelovu cenu v roce 1907.

Bylo tedy třeba přehodnotit klasickou mechaniku a postavit ji na jiných principech než je prosté skládání rychlostí. To ale nutně vedlo k tomu, že prostor a čas přestaly být absolutní, události současné z hlediska jednoho souřadnicového systému nemusí být současné z hlediska jiného souřadnicového systému. Stejně tak pojem časového intervalu a vzdálenosti dvou událostí závisí na zvoleném souřadnicovém systému. Nová teorie  platící jen pro inerciální souřadnicové systémy byla vypracována Albertem Einsteinem (1879-1955). Ten získal Nobelovu cenu v roce 1921, nikoli však jako tvůrce speciální a obecné relativity, ale paradoxně za vysvětlení fotoelektrického jevu. Matematickou podstatou Lorentzovy transformace a symetrií s ní spojených se zabýval Jules Henri Poincaré (1854-1912). Vlastnosti časoprostoru ve speciální relativitě zkoumal Hermann Minkowski (1864-1909).
 

Tvůrci speciální teorie relativity
A. Einstein
(1879-1955)
A.A. Michelson
(1852-1931)

Tvůrci speciální teorie relativity

H.A. Lorentz
(1853-1928)
H. Minkowski
(1864-1909)
J.H. Poincaré
(1854-1912)


Základní principy

Klasický princip relativity Mechanické děje dopadnou ve všech inerciálních soustavách stejně. Žádný z inerciálních systémů není nijak privilegován. Tento princip vychází z Galileovy transformace mezi dvěma souřadnicovými systémy vzájemně se pohybujícími v ose x konstantní rychlostí v

t' = t
x' = x - vt
y' = y
z' = z

Derivováním podle času dostaneme klasické skládání rychlostí: 

ux' = ux - v
uy' = uy
uz' = uz

Dalším derivováním zjistíme, že zrychlení v obou soustavách jsou stejná a = a'. To znamená, že v obou soustavách působí i stejné síly a platí klasický princip relativity.

Speciální relativita 1. Mechanické i elektromagnetické děje dopadnou ve všech inerciálních systémech stejně. Žádný z inerciálních systémů není nijak privilegován. 
2. Rychlost světla je ve všech inerciálních souřadnicových soustavách stejná.
Princip konstantní rychlosti světla je obsažen v Maxwellových rovnicích a je podpořen celou řadou experimentů, z nichž nejznámější je Michelsonův experiment. Odpovídající transformace se nazývá Lorentzova transformace a nevede již k prostému skládání rychlostí. Délky tyčí a časové intervaly závisí na volbě souřadnicového systému.


Lorentzova transformace

Předpokládáme, že souřadnicový systém S' se pohybuje vzhledem k systému S rychlostí v ve směru osy x. Na rozdíl od klasického principu relativity, kde se transformuje pouze prostorová souřadnice, je ve speciální teorii relativity prostorová a časová souřadnice postavená na stejnou úroveň. Znamená to tedy transformaci ve tvaru

t' = A11x + A12
x' = A21x + A22 .

Transformace musí dále splňovat Einsteinův postulát, který říká, že ve všech souřadných soustavách je rychlost světla c stejná, tedy pro čelo světelné vlny vzniklé v centru souřadnic v okamžiku, kdy se systémy míjí, musí platit

x = ct ,
x' = ct

a nikoliv x' = c't'. Pouze z těchto předpokladů a z předpokladu, že stejné zákony musí platit i v soustavě S' po záměně rychlosti v za -v, obdržíme Lorentzovu transformaci. Obě souřadnicové soustavy jsou inerciální. Význam relativistických koeficientů γ a β je definován v další tabulce. Při mnoha výpočtech je výhodné pracovat v takové soustavě jednotek, ve které je c = 1. Většina následujících vztahů se v této soustavě značně zjednoduší.

t' = γ(t - vx/c2
x' = γ(x -vt
y' = y
z' = z
Lorentzova transformace S S'. Transformace, která je ve shodě s Maxwellovými rovnicemi, nevychází z ní již prosté skládání rychlostí. Tato transformace splňuje oba základní Einsteinovy postuláty speciální relativity. 
t = γ(t' + vx'/c2
x = γ(x' + vt'
y = y'
z = z'
Inverzní Lorentzova transformace S.' → S.
Lorentzova transformace S S' - maticový zápis. Transformace je dána jednoduchou Lorentzovou maticí Λ. Stejným způsobem se transformují i ostatní čtyřvektory - prostým působením Lorentzovy matice Λ.
Inverzní Lorentzova transformace S S' - maticový zápis. Inverzní Lorentzova matice Λ-1 se od Lorentzovy matice Λ liší jen opačným znaménkem rychlosti pohybu druhé soustavy, tj. znaménkem koeficientu β.
det Λ = det Λ-1 = 1 Unitarita transformace. Z matematického hlediska patří Lorentzova transformace k unitárním transformacím. Ty lze rozdělit na rotace s determinantem rovným +1 a zrcadlení s determinantem rovným -1. LT tedy patří k rotacím.
u' = (u - v) / (1 - uv/c2) Transformace rychlosti S S'. Rychlosti částice v obou soustavách jsou u = dx/dt, u' = dx'/dt', rychlost soustavy S' vzhledem k S je v. Transformační pravidlo získáme ihned diferencováním Lorentzových rovnic. Maximální rychlost z tohoto transformačního pravidla vychází c.
u = (u' + v) / (1 + u'v/c2) Transformace rychlosti S' S. Rychlosti částice v obou soustavách jsou u, u', rychlost soustavy S' vzhledem k S je v. Maximální rychlost z tohoto transformačního pravidla vychází c.


Základní vztahy

β v/c První relativistický koeficient. Bezrozměrná rychlost.
γ ≡  (1 – β2)–1/2 Druhý relativistický koeficient
dt = γdt0 Dilatace času. Časový interval mezi dvěma událostmi (například počátkem a koncem shlédnutí filmu) je nejkratší ve vlastní soustavě (v soustavě spojené s oběma událostmi, tedy v kině). Všude jinde se zdá, že doba uběhlá mezi počátkem a koncem tohoto děje je delší.
dl = dl0/γ Kontrakce délek. Délka tyče (prostorový interval) je ve vlastní soustavě nejdelší možná. V každé jiné soustavě se tyče jeví kratší ve směru pohybu.
m = γm0 Pohybová hmotnost. Její zavedení umožní, aby vztah pro hybnost připomínal vztah z klasické mechaniky. Pohybová hmotnost částice s narůstající rychlostí roste. V limitě v → c roste nade všechny meze. Proto není možné žádnou částici s m0 ≠ 0 urychlit na rychlost světla. Rychlost světla je nejvyšší dosažitelná rychlost. Mají ji jen částice s m0 = 0 a to v libovolném souřadnicovém systému. Lze to ukázat buď z pohybové rovnice nebo z Pythagorovy věty o energii.
E = γm0c2 = mc2 Vztah mezi celkovou energií a hmotností. Jakékoli zvýšení energetického obsahu systému vede i k zvýšení jeho hmotnosti. Celková obsažená energie je právě dána hmotností systému.
p = γm0v = mv Celková hybnost částice. Zavedením pohybové hmotnosti m = γm0 se vztah podobá klasickému vztahu pro hybnost.
Wk = mc2m0c2 Kinetická energie. Taylorův rozvoj hodnoty m = γm0 v rychlosti do druhého řádu vede na klasický vztah Wk = mv2/2.
E2 = p2c2 + m02c4 Pythagorova věta o energii. Jde o užitečné vyjádření kvadrátu velikosti čtyřvektoru hybnosti.


Některé čtyřvektory

xμ = (ct, x) Událost. Základní čtveřice parametrů popisujících v relativitě událost. Koeficient c v časové komponentě zajišťuje stejný rozměr všech čtyř veličin. V soustavě jednotek s c = 1 tento koeficient odpadá a mocniny c nebudou ani u následujících výrazů.
kμ = (ω/c, k) Vlnový čtyřvektor. Popisuje vlnění a změny jeho fáze. Časová složka ω je změna fáze vlnění s časem, prostorové složky k jsou změny fáze s jednotlivými souřadnicemi.
pμ = (E/c, p) Čtyřhybnost. Popisuje částice. Časová složka E je energie, souvisí se symetriemi v přírodě vzhledem k časovým posunutím. Prostorová složka p je hybnost, souvisí se symetriemi v přírodě vzhledem k prostorovým posunutím. V kvantové teorii se objekty mohou chovat jako vlny i jako částice. Vyjádřením této duality vlna-částice je vztah pμ ~ kμ. Konstantou úměrnosti je v SI redukovaná Planckova konstanta.
Aμ = (Φ/c, A) Čtyřpotenciál elektromagnetického pole. Elektrická a magnetická pole se určí z výrazů E = – grad Φ – ∂A/∂t,   B = rot A.
jμ = (cρ, j ) Čtyřproud. Hustota náboje a proudová hustota. Čtyřproud popisuje proudění nějaké veličiny, v tomto případě elektromagnetického náboje. Stejně tak můžeme přiřadit čtyřproud i jiným aditivním veličinám, například energii: Potom je ρW = ED/2 + HB/2 hustota energie elektrického a magnetického pole a jW = E×H je tok energie, tzv. Poyntingův vektor.
uμ = dxμ/dτ = γ(c, v) Čtyřrychlost. Rychlost je definována pomocí derivace podle vlastního času, který je invariantem vzhledem k LT. Tím je zaručeno, že i čtyřrychlost se chová jako čtyřvektor a má stejné transformační vlastnosti jako ostatní čtyřvektory. 
pμ = m0 uμ Čtyřhybnost. Definice pomocí čtyřrychlosti. Musíme ji násobit klidovou hmotností, která je invariantem vzhledem k LT. Tím je zaručeno, že i čtyřhybnost má stejné transformační vlastnosti jako ostatní čtyřvektory. Porovnáme-li vyjádření z třetího řádku s tímto, získáme vztahy E = mc2 a p = mv, ve kterých je m = γm0.

Všechny čtyřvektory se transformují shodně – za pomoci Lorentzovy transformace. Stačí zapůsobit na čtyřvektor vyjádřený v jedné soustavě Lorentzovou maticí a získáme hodnoty v soustavě druhé (obě soustavy musí být inerciální). Skalární součin dvou čtyřvektorů definovaný vztahem aμbμ = – a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3 je invariantem a nezávisí na volbě souřadnicového systému. Například xμkμ = – ωt + kx je fáze vlnění, dxμdxμ = – c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 je  interval, – jμAμ = ρΦ - jA je interakční energie toku nabitých částic s elektromagnetickým polem, atd.


OBSAHNewtonův gravitační zákonGravitaceObecná teorie relativity