OBSAHSpeciální teorie relativityGravitaceRůzné metriky

OBECNÁ TEORIE RELATIVITY

Na této stránce naleznete:
     Trocha historie
Základní relativistické principy
Princip ekvivalence
Stavba obecné relativity
Zakřivení času
Zakřivení prostoru
Zakřivení časoprostoru - gravitační vlny
Některé vztahy z OTR


Trocha historie

Gravitační interakce se od všech ostatních výrazně odlišuje. Jako jediná působí na všechny částice. Toto působení má zvláštní charakter: Testovací (malá) tělesa se v gravitačním poli pohybují po stejných trajektoriích. Už Galileo Galilei věděl, že doba volného pádu malé kuličky i velkého kamene v tíhovém poli Země je shodná. (Nesmí jít například o pírko, kde je podstatnou silou odpor vzduchu.) To je důsledkem tzv. principu ekvivalence mezi setrvačnou a gravitační hmotou. Hmota se projevuje setrvačnými  a gravitačními účinky a ty jsou si úměrné. Nelze proto od sebe odlišit setrvačné a gravitační jevy. Je jedno, zda se nacházíme v urychlovaném výtahu, tj. neinerciální soustavě, nebo v tíhovém poli se stejným gravitačním zrychlením. V obou soustavách dopadnou experimenty stejně. To vedlo Alberta Einsteina k zobecnění speciální relativity platící v inerciálních soustavách na veškeré souřadnicové systémy a k vzniku obecné relativity, jejíž kostru dokončil v roce 1915.

Právě universálnost gravitační interakce a jednotná odezva všech testovacích částic na zdroj gravitačního pole vedla k přehodnocení klasického pojmu síly. Zakřivení trajektorií již není způsobeno těžko definovatelnou silou, ale vlastnostmi prostoru a času. V obecné relativitě sama tělesa zakřivují čas a prostor a v tomto zakřiveném časoprostoru se pohybují po nejrovnějších možných drahách - geodetikách. Například volný pád všech těles probíhá stejně proto, že se pohybují v časoprostoru zakřiveném Zemí a toto zakřivení je pro všechna tělesa stejná.

Prostor a čas v obecné relativitě bez samotných těles neexistuje. Tělesa sama časoprostor vytvářejí. Zakřivení časoprostoru je matematicky popisováno metrickým tenzorem - jde vlastně o koeficienty gμν v Pythagorově větě, které určují vlastnosti času a prostoru.
 

Základní metriky - Pythagorova věta
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 Kvadrát vzdálenosti v kartézském souřadnicovém systému, kartézská metrika.
ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 Časoprostorový interval ve speciální relativitě, Minkowského metrika. 
ds2g00dt2 + g11dx2 + g22dy2 + g33dz2 Metrika v obecné relativitě, Riemannova metrika. Ortogonální systém souřadnic.

Koeficienty gμν se zavádějí nejen v pokřiveném kartézském souřadnicovém systému, ale v jakékoli souřadnicové soustavě, například sférické. Sám pojem souřadnic v obecné relativitě ustupuje do pozadí, význam mají měřitelné efekty na gravitujících tělesech.

Albert Einstein nalezl rovnice pro metrické koeficienty gμν. Jde o deset diferenciálních rovnic druhého řádu. První řešení pro sféricky symetrické gravitační pole centrálního tělesa nalezl Karl Schwarzschild v roce 1916. Jeho řešení ve velké vzdálenosti od zdroje přechází v Minkowského metriku speciální relativity, pohyby těles ve větších vzdálenostech od zdroje jsou shodné s pohyby v Newtonově teorii. V silnějších polích (blíže ke zdroji) je ale v předpovědích možné pozorovat rozdíly. Světelný paprsek se zakřivuje, dráhy těles nejsou uzavřené elipsy, dochází ke stáčení celé trajektorie, hodiny jdou v různých místech gravitačního pole různě a pro vnějšího pozorovatele není možné pozorovat děje pod tzv. Schwarzschildovým poloměrem. Je-li těleso vytvářející pole pod Schwarzschildovým poloměrem, jedná se o černou díru.

Jiným důležitým řešení rovnic obecné relativity je Fridmanovo řešení z roku 1922, podle kterého homogenní izotropní Vesmír jako celek nemůže být statický, musí se rozšiřovat nebo smršťovat. Nezávisle řešil Einsteinovy rovnice pro modely vesmíru G. Lemaitre.

Rovnice OTR poskytují řešení ve tvaru gravitačních vln a v mnoha dalších předpovědích se odlišují od Newtonova gravitačního zákona. Uveďme alespoň některé z nich:

  • zakřivení světelného paprsku v gravitačním poli (1,75" u povrchu Slunce),
  • gravitační čočky (první objevena v roce 1979),
  • stáčení perihelia planet (zejména Merkuru: 43" za století),
  • gravitační červený posuv (závislost chodu hodin na gravitačním poli, poprvé prokázán pro bílé trpaslíky),
  • zpoždění elektromagnetického signálu,
  • kosmologický červený posuv,
  • Lensův-Thirringův jev (strhávání souřadnicové soustavy),
  • gravitační vlny,
  • černé díry,
  • rozpínání Vesmíru,
  • neeukleidovská geometrie časoprostoru.

Počátky obecné teorie relativity

A. Einstein
(1879-1955)
K. Schwarzschild
(1873-1916)
A. Fridman
(1888-1925)


Základní relativistické principy

Klasický princip relativity Mechanické děje dopadnou ve všech inerciálních soustavách stejně. Žádný z inerciálních systémů není nijak privilegován.
Speciální relativita 1. Mechanické i elektromagnetické děje dopadnou ve všech inerciálních systémech stejně. Žádný z inerciálních systémů není nijak privilegován. 
2. Rychlost světla je ve všech inerciálních souřadnicových soustavách stejná.
Obecná relativita 1. Všechny děje dopadnou v libovolném souřadnicovém systému stejně. Žádný systém není nijak privilegován. 
2. Gravitaci a setrvačné děje od sebe nelze odlišit. V urychlující se raketě dochází ke stejným dějům jako ve skutečném gravitačním poli. Naopak ve volně padajícím letadle pociťujeme stav beztíže a gravitační pole nevnímáme. Bohužel jen na chvíli. Vyjádřením tohoto faktu je tzv. princip ekvivalence.
Princip ekvivalence Setrvačná a gravitační hmotnost jsou si navzájem úměrné, při vhodné volbě jednotek jsou si rovné. Princip ekvivalence vede k neodlišitelnosti setrvačných a gravitačních jevů a umožňuje popisovat gravitaci za pomocí křivého časoprostoru.
Silný princip ekvivalence Energie odpovídající elektromagnetickému poli se také projevuje jako setrvačná hmotnost. I tato hmotnost má své gravitační účinky.
Velmi silný princip ekvivalence Energie, která by odpovídala samotnému gravitačnímu poli má také projevy jako setrvačná a gravitační hmotnost.
Matematický popis OTR 1. Každé těleso zakřivuje svou přítomností prostor a čas kolem sebe.
2. V tomto zakřiveném časoprostoru se tělesa pohybují po nejrovnějších možných drahách (geodetikách).

Tělesa tedy časoprostor sama vytvářejí, bez nich časoprostor neexistuje a nemá smysl.


Princip ekvivalence

Hmotnost lze určovat ze setrvačných účinků těles (schopnosti setrvávat v daném pohybovém stavu) nebo z gravitačních účinků (schopnosti všech těles se přitahovat). Z experimentů se ukazuje, že obě hmotnosti jsou si úměrné a při vhodné volbě jednotek rovné. V Newtonově gravitačním zákoně se potom setrvačná hmotnost pokrátí s gravitační hmotností tělesa (například pro volný pád ms d2y/dt2 = mg g) a všechna tělesa se budou pohybovat po stejných trajektoriích. V malé volně gravitující kleci (padající výtah) se proto tělesa chovají jako ve stavu beztíže a naopak v urychlované kleci se tělesa chovají jako v tíhovém poli. V prostorově malé kleci v dosti krátkém časové okamžiku nerozlišíme gravitační a setrvačné efekty. Hledaný inerciální systém, ve kterém platí zákony speciální teorie relativity, je právě po krátkou dobu volně gravitující (padající) klec malých rozměrů. Jde o tzv. lokální inerciální systém (LIS). Nejlépe snad lze zavedení LIS pochopit v experimentu Harolda Waaga. Představme si tři propojené rovnoběžné desky s otvory na přímce. K první desce je připojeno zařízení vrhající kuličku, k poslední vak, který ji zachytí. Je­li zařízení v klidu vzhledem k povrchu Země (stojí na Zemi, visí na laně), kulička díky tíhovému poli neprojde až do vaku. Je to tím, že systém není inerciální a tělesa se nepohybují rovnoměrně přímočaře. Přestřihneme-li závěs a zařízení bude padat volným pádem, stává se lokálním inerciálním systémem (LIS), tělesa se pohybují po přímkách a kulička dopadne do záchytného vaku.

Experiment Harolda Waaga

Ověření principu ekvivalence:

1922: L. Eötvös, E. Fekete, D. Pekár: Systém dvou těles na torzním vlákně z různých materiálů v poli Země. Přesnost 5×10–9.
1964: R.H. Dicke, R. Krotkov, P.G. Roll: Au-Al v poli Země a Slunce. Přesnost 10–11
1971: V.G .Braginski, V.I. Panov: Au-Pt v poli Země a Slunce. Přesnost 10–12
1994: Y. Su: Be-Cu v poli Země a Slunce. Přesnost 2×10–12
1996: J.O. Dickey: Země-Měsíc v poli Slunce. Přesnost 4×10–13

Přesností rozumíme relativní odchylku vzdálenosti dvou těles při volném pádu.


Stavba obecné relativity

OTRTělesa pohybující se pod vlivem gravitačních polí se díky ekvivalenci setrvačné a gravitační hmotnosti pohybují po stejných trajektoriích (pokud je jejich vlastní pole zanedbatelné). Například cihla a malá kulička padající ze stejné výšky dopadnou na zem za stejný čas. To přivedlo Alberta Einsteina k myšlence, že křivost trajektorií je vlastností samotného prostoru a času. Prostor a čas je zakřiven a tělesa se pohybují po rovných drahách v tomto křivém prostoru (lépe časoprostoru, časovou souřadnici nikdy ze svých úvah nemůžeme vynechat). Dva kameny na obrázku se podle newtonovské teorie potkají proto, že Slunce na ně působí gravitační silou, která zakřivuje jejich dráhu v prostoru. Podle obecné relativity se oba kameny pohybují po "přímkách", ale v křivém čase a prostoru. Zakřivení času a prostoru samozřejmě způsobuje Slunce.

Zakřivení třídimenzionálního prostoru si můžeme jen dosti těžko představit. Celkem bez problému si ale představíme zakřivenou dvojdimenzionální plochu (povrch jablka, míče, sedlo koně, reliéf krajiny). Nejkratší spojnicí dvou bodů na takto zakřivené ploše již není přímka. Je to křivka, kterou nazýváme geodetika. Jak si ale představit zakřivení v čase? Kupodivu je to velmi jednoduché. Zakřivení časové osy vlastně neznamená nic jiného než různý chod hodin v různých místech. Různě vysoko nad povrchem Země jdou hodiny různě. Na časovou osu nesmíme nikdy zapomínat. Ukažme si to na jednoduchém příkladě: Z nějakého místa na povrchu Země hodíme kámen a pod menším úhlem vystřelíme střelu tak, aby dopadly stejně daleko. Na první pohled se zdá, že něco je špatně. Prostor je zakřiven přítomností Země a tak by se kámen i střela měly pohybovat po stejných křivkách. Zapomněli jsme ale na časovou osu. Na obrázku vpravo je stejná situace zakreslena i s časem. Vidíme, že kámen i střela se pohybují různými místy časoprostoru. Jestliže na časové a prostorových osách zvolíme stejné jednotky (to lze zařídit například tak, že místo času budeme používat kombinaci ct), zjistíme, že obě trajektorie mají stejnou křivost.

kámen a střela

Základní myšlenky obecné teorie relativity tak lze shrnout do dvou tvrzení:
 

  1. Každé těleso zakřivuje prostor a čas kolem sebe (prostor i čas!).
  2. Tělesa se pohybují po geodetikách (nejrovnějších možných drahách) v zakřiveném časoprostoru.

Matematické zpracování těchto postulátů může být i značně obtížné, využívá se poznatků z diferenciální geometrie a problémy gravitačního působení se převádějí na geometrické vlastnosti prostoru a času. Nicméně základní myšlenky OTR jsou jednoduché a přímočaré.

Jaký je vztah mezi obecnou a speciální relativitou? Obecná relativita platí v jakémkoli souřadnicovém systému, třeba zrychleném, rotujícím a podobně. Speciální relativita platí jen v inerciálních systémech. Ty, jak víme, existují jen lokálně. Lze je vybudovat jako klece malých rozměrů volně padající v prostoru po krátkou dobu. Chceme-li například sledovat pohyb světelného paprsku v blízkosti Slunce v rámci speciální relativity, musíme v každém místě, do kterého se paprsek dostane, vybudovat LIS, v něm pohyb vyřešit (uvnitř LIS je to pohyb po přímce, ale celá klec padá volným pádem a pro vnějšího pozorovatele je proto trajektorie paprsku zakřivena). Přejdeme k dalšímu LIS, opět pohyb vyřešíme, atd. Výsledný pohyb bude integrací pohybů v jednotlivých LIS. Pomocí rovnic obecné relativity můžeme najít přímo řešení celého pohybu bez zavádění lokálně inerciálních systémů.


Zakřivení času

HodinyGravitační pole ovlivňuje chod hodin jakékoli konstrukce. Foton (jeho kmity mohou posloužit jako jednoduché hodiny) vystupující z gravitačního pole tělesa zmenšuje svou frekvenci, prodlužuje vlnovou délku a červená. Důvodem je zákon zachování energie, například v tíhovém poli

ω + mgh = const,    kde m = E/c2ω/c2 .

Červený posuv lze odvodit i z chování vystupujícího fotonu vzhledem k LIS. Vzhledem k vnějšímu pozorovateli LIS s fotonem v tíhovém či gravitačním poli padá a uplatní se Dopplerův jev. V obecném gravitačním poli s měnícím se potenciálem pro infinitezimální změnu frekvence platí:

dω/ω = –dΦ/c2;    ΦWp/m.

Tato změna chodu hodin se podle principu ekvivalence uplatňuje i v přítomnosti setrvačných efektů (brždění, rozjíždění). Právě červený posuv je odpovědný za různé stáří bratrů ve známém paradoxu dvojčat. Ke změně chodu hodin dochází při urychlování rakety, v otočce a při přistání. Změna frekvence fotonu byla pozorována i při vstupu fotonu do gravitačního pole Země . V Poundově Rebkově experimentu byla pozorována změna frekvence fotonu při průletu starou vodárenskou věží o výšce pouhých 22,6 m. Různý chod hodin v různých výškách nad povrchem znamená, že rovnoběžník vytvořený ze dvou světočar fotonů a dvou časových intervalů není ve skutečnosti rovnoběžníkem, geometrie časoprostoru není eukleidovská:


Zakřivení prostoru

V zakřiveném prostoru (například na povrchu koule) již neplatí známé vztahy z Eukleidovské geometrie. Součet úhlů v trojúhelníku není 180°, obvod kružnice není 2πr, plocha koule není 4πr2, čtyři kolmé přímky nevytvoří obdélník, atd. Důsledkem zakřivení prostoru kolem našeho Slunce je například stáčení  perihélia Merkuru a odklon světelného paprsku hvězd od přímky. Kdybychom měřili poloměr Slunce ze skutečných radiálních měření, bude se nalezená hodnota lišit v důsledku zakřivení prostoru od hodnoty získané z měření plochy povrchu Slunce, r = (S/4π)1/2, o hodnotu

Δr = rg/6;     rg = 2Gm/c2,

tedy o šestinu Schwarzschildova poloměru. Pro naše Slunce jde o 0,5 km. Nejčastěji dnes měřeným projevem zakřivení prostoru jsou gravitační čočky, jejichž existenci předpověděl A. Einstein v roce 1936. Hmotný objekt ležící mezi zdrojem záření a pozorovatelem zakřivuje světelné paprsky podobně jako skleněná čočka v laboratoři.

Převzato z IAN

Klepnutím na tento symbol spustíte aplet, ve kterém si můžete vyzkoušet ohyb světelného paprsku v okolí hmotného tělesa. SW předpoklady: Netscape 4.5 a vyšší nebo Explorer 4.0 a vyšší. Autorem apletu je Ondřej Pšenčík.


Zakřivení časoprostoru - gravitační vlny

Nejjednodušším příkladem kombinovaného zakřivení časoprostoru, které je navíc periodické, je gravitační vlna. Objevuje se u těles s nenulovým kvadrupólovým momentem a metriku časoprostoru lze rozložit na dvě části:

gμν = ημν + hμν,

kde veličina ημν je obyčejná Minkowského metrika speciální relativity a  hμν je malá odchylka od této metriky, která splňuje vlnovou rovnici

(Δ – 1/c22/∂t2) hμν = 0.

Gravitační vlny mají dva mody skloněné o 45°. Tato odlišnost od elektromagnetických vln (také dva mody, ale odkloněné o 90°) souvisí se spinem pole (fotony mají s = 1, gravitony s = 2). Existenci gravitačních vln předpověděl Albert Einstein již v roce 1916. Známé jsou neúspěšné Weberovy pokusy o hledání gravitačních vln. V současnosti probíhá velmi ambiciózní projekt LIGO na detekci gravitačních vln. Detaily o hledání gravitačních vln naleznete na stránce Testy obecné relativity.


Některé vztahy z OTR

Δω/ω0 = –Δλ0 = ΔΦ/c2 Změna frekvence fotonu způsobená změnou gravitačního potenciálu Φ. V tíhovém poli je ΔΦ = gΔl.
ds2 =  –c2(1 – rg/r) dt2 + (1 – rg/r)-1dr2  + r2 dω2 Schwarzschildova metrika. Tvar intervalu ve sférických souřadnicích v okolí černé díry.
rg = 2GM/c2 Schwarzschildův poloměr. Poloměr, pod ze kterého se od hmotného tělesa nemůže vzdálit ani světlo.
M, L, Q = const No hair“ teorém. Černá díra si ponechává jen informaci o hmotnosti, momentu hybnosti a náboji.
ΣSk(t) ≤ ΣSk(t+Δt) Termodynamika černých děr. Ať probíhají jakékoli procesy včetně spojování černých děr, celkový povrch se nezmenší. Povrch černé díry v jistém smyslu představuje pojem entropie klasického souboru částic
ds2 =  –c2 dt2 + a2(t)[dr2/(1–kr2)  + r2 dω2] Fridmanova-Lemaitre-Robertsonova-Walkerova metrika rozpínajícího se Vesmíru. 
H2 – 8/3 πGρ = –c2k/a2 Einsteinova-Fridmanova rovnice. Diferenciální rovnice pro expanzní funkci a(t). Veličina k je křivost Vesmíru.
H (da/dt)/a Hubbleova konstanta. Udává koeficient úměrnosti mezi rychlostí rozpínání Vesmíru a vzdáleností objektu. H ~ 71 km s–1Mpc–1.
ρC = 3H2/(8πG) Kritická hustota. Pro hustotu vyšší než je kritická se Vesmír bude v budoucnu smršťovat, jeho křivost je kladná a objem konečný. Pro hustotu nižší než kritická je křivost záporná, objem nekonečný a Vesmír se bude neustále rozpínat.
z = Δλ0 = [a(t) – a(t0)]/a(t0) Kosmologický posuv. Změna frekvence vyzařovaného světla způsobená změnou geometrie prostředí, kterým se světlo šíří, tedy rozpínáním Vesmíru.


OBSAHSpeciální teorie relativityGravitaceRůzné metriky