STANDARDNÍ KOSMOLOGICKÝ MODEL![]()
![]() Olbersův paradox (Heinrich Olbers, 1832)Počet hvězd v sférické slupce roste s kvadrátem vzdálenosti slupky. Intenzita záření přicházející k pozorovateli naopak klesá s kvadrátem vzdálenosti. Oba jevy by se tak měly vyrušit a k pozorovateli by všechny sférické slupky z celého vesmíru (je jich nekonečně mnoho) měly přispět stejnou intenzitou. Výsledkem by měl být nekonečný jas denní i noční oblohy. Provedeme-li opravu na zákryty hvězd, absorpci světla atd., stejně dostaneme alespoň konstantní konečný jas oblohy ve dne i v noci. Přesto je v noci tma. Proč? Tento paradox zformuloval Heinrich Olbers, jeho závěry však byly chybné. Již dříve o tomto paradoxu hlouběji uvažoval Kepler, a proto se také někdy nazývá Keplerův paradox.
Nejjednodušším důkazem vývoje objektů ve vesmíru a jeho proměnlivosti s časem je proto fakt, že v noci je tma. ![]() ![]() Fridmanovo řešení (Alexandr Fridman, 1922)V roce 1922 ukázal sovětský vědec Alexandr Fridman (německý přepis jména je Friedmann), že Einsteinovy rovnice obecné relativity neposkytují konstantní řešení pro homogenní isotropní vesmír. Vesmír musí být nestacionární, buď se rozpíná nebo se smršťuje. Je to obdobné jako pohyb kamene hozeného vzhůru. Nikdy nezůstane viset ve vzduch v konstantní vzdálenosti od Země, buď poletí vzhůru, nebo bude padat dolů. Charakter expanze nebo kolapsu prostorových souřadnic popisuje tzv. expanzní funkce a(t). Můžeme si ji představit jako poměr vzdálenosti libovolných dvou objektů ve vesmíru dnes a v minulosti. Charakter řešení záleží na průměrné hustotě vesmíru ρ a popisuje ho Einsteinova-Fridmanova rovnice: H 2 − (8/3)πGρ = −c2k/a2; H ≡ (da/dt)/a. Význam jednotlivých proměnných v rovnici je následující:
Analogii této rovnice je možné odvodit i v klasické mechanice: ![]() Představme si dvě galaxie ve vzdálenosti a. Pohyb galaxie B vzhledem k galaxii A je dán jen hmotou rozprostřenou uvnitř koule se středem v A a poloměrem AB. Předpokládejme, že celková hmotnost v této oblasti je M a průměrná hustota ρ. Zákon zachování energie pro galaxii B je m(da/dt)2/2 − GmM/a = E; M = ρV = ρ (4/3)πa3 Po dosazení za hmotnost a jednoduché úpravě vyjde rovnice H 2 − (8/3)πρG = const/a2, která je svým tvarem identická s Einsteinovou-Fridmanovou rovnicí, jen interpretace jednotlivých proměnných se významně liší (vzdálenost ↔ expanzní funkce, celková energie ↔ mínus křivost). Einsteinova-Fridmanova rovnice je diferenciální rovnicí, která spolu s další rovnicí pro hustotu umožňuje nalézt závislost expanzní funkce na čase. V řešení Einsteinovy-Fridmanovy rovnice mohou nastat tři odlišné případy:
![]() ![]() Poznámka: Hmotnost a energie jsou provázány Einsteinovým vztahem E = mc2 a mezi hustotami obou veličin platí vztah ρE = ρmc2. V tzv. normální soustavě jednotek (c = 1) obě veličiny splývají. V dosavadních vztazích znamenal symbol ρ hustotu hmoty, která má jednotku kg/m3. V následujícím textu budeme symbolem ρ označovat hustotu energie, která má jednotku J/m3. Čtenář by měl při čtení astronomických textů vždy zvážit, o kterou z obou hustot jde. Vesmír se skládá z entit, které se při expanzi chovají různě. Hustota běžné látky (složené z částic s nenulovou klidovou hmotností) klesá při expanzi se třetí mocninou narůstajících rozměrů. Hustota energie záření (reprezentují ho polní částice s nulovou klidovou hmotností) klesá se čtvrtou mocninou, tedy rychleji. Hustota tzv. temné energie s největší pravděpodobností při expanzi neklesá vůbec. Obecně můžeme pokles hustoty dané entity vyjádřit vztahem ρ ~ 1/a α. Z jednoduchých termodynamických úvah (viz sylabus Astrofyzika v příkladech) lze ukázat, že entita klesající při expanzi s mocninnou závislostí na vzdálenostech splňuje jednoduchý vztah p = wρ mezi hustotou energie a tlakem (tzv. stavovou rovnici). Koeficient w je podíl tlaku a hustoty energie a patří k velmi důležitým kosmologickým parametrům, jeho hodnota je α/3 − 1. Pro hmotu (α = 3) je parametr w nulový a tato entita nepřispívá při expanzi žádným tlakem. Pro záření (α = 4) je w = +1/3. Jde o známý vztah mezi tlakem záření a hustotou jeho energie p = ρ/3. Pro temnou energii (α < 3) je koeficient w, a tedy i tlak, záporný. Záporný tlak podporuje expanzi vesmíru. Hodnota koeficientu w pro temnou energii je velmi důležitá. Aby docházelo k pozorované zrychlené expanzi vesmíru, musí podle rovnic obecné teorie relativity platit, že w < −1/3. Pro vakuovou energii spojenou s kvantově mechanickými procesy ve vakuu je w = −1 a expanzní funkce roste exponenciálně. Pokud by dokonce bylo w < −1 bude expanze natolik překotná, že zasáhne strukturu látky a rozerve v budoucnu samotná atomová jádra. Této situaci říkáme big rip – velké rozervání. Z měření WMAP, Planck, CBI, 2dF a SDSS vychází, že parametr w se pro temnou energii nachází v intervalu hodnot <−1;−0,78) a scénář velkého rozervání je s nejvyšší pravděpodobností experimentálně vyloučen. Látce, záření a vakuové hustotě energie odpovídají různá řešení Einsteinovy rovnice pro expanzní funkci:
![]() Kosmologická konstantaEinsteinovy rovnice obecné relativity mají jednoduchý tvar Gμν = κTμν. Člen nalevo (Einsteinův tenzor) popisuje zakřivení časoprostoru a skládá se z různých kombinací metriky gμν a jejích derivací. Napravo je tzv. tenzor energie a hybnosti, který popisuje rozložení látky ve vesmíru. Einsteinovy rovnice OTR jsou pouze matematickým vyjádřením skutečnosti, že látka kolem sebe zakřivuje prostor a čas. Koeficient úměrnosti mezi Einsteinovým tenzorem G a tenzorem T vychází (z požadavku, aby v případě slabých polí daly Einsteinovy rovnice Newtonův gravitační zákon) κ = 8πG/c4. V roce 1917 dodal Einstein na levou stranu navíc člen úměrný metrickému tenzoru, který měl zajistit statické řešení Einsteinových rovnic, neboť i Einstein věřil, že vesmír je statisckiý: Gμν + Λgμν = κTμν. Koeficient úměrnosti Λ se nazývá kosmologická konstanta (v SI má rozměr má 1/m2) a pro některé její hodnoty poskytují „nové“ rovnice OTR i stacionární řešení. Řešením Einsteinových rovnic s nenulovou kosmologickou konstantou se zabýval například belgický kněz Georges Lemaitre (1894–1966). V oné době mnoho lidí (včetně Alberta Einsteina) věřilo, že vesmír je neměnný v čase. Po objevu Hubblova rozpínání vesmíru Albert Einstein tento člen z rovnic opět vyškrtl a prohlásil, že šlo o největší omyl jeho života. Dnešní doba znamená velkou renesanci kosmologické konstanty. Člen úměrný metrickému tenzoru do rovnic skutečně patří, je však pravděpodobně způsoben kvantově polními projevy vakua a jeho původ je v kvantových procesech. Pro kvantové vakuum není střední hodnota tenzoru energie a hybnosti na pravé straně Einsteinových rovnic nulová, ale je úměrná metrickému tenzoru: <Tμν> = ρvakua gμν. Střední hodnota vakuové energie se proto chová stejně jako člen s kosmologickou konstantou na levé straně rovnic. Kvantové procesy tak do rovnic přirozeným způsobem zavádějí člen úměrný metrickému tenzoru. Otevřenou otázkou zůstává, zda jsou kvantové procesy jediným zdrojem kosmologického členu. Na velkých měřítcích se člen pro některé hodnoty Λ projevuje jako jakási „odpudivá“ gravitace, nebo chcete-li záporný tlak či antigravitace. Projevy tohoto členu jsou dnes pozorovány jako zrychlená expanze vesmíru. K hustotě vesmíru způsobující jeho zakřivení přispívá záření (R), látka (M) a kvantové efekty (Λ) Ω ≡ ρ/ρc = ΩR + ΩM + ΩΛ. Pro plochý vesmír by bylo Ω = 1. Dnešní vesmír se zdá být přibližně plochý (Ω = 1,02 ± 0,02) a kosmologická konstanta přispívá hodnotou (Adam Riess – 1998, Saul Perlmutter – 1999, WMAP 2003, Planck 2013) ΩΛ = c2Λ / 3H 2 ~ 0,68. Měření byla prováděna na souboru supernov typu Ia, ve kterých je exploze způsobena rozmetáním bílého trpaslíka, který překročil Chandrasekharovu mez. Shodná hmotnost trpaslíků vede ke stejné absolutní magnitudě všech supernov. Vzdálenější supernovy byly méně jasné než podle propočtů. Z toho lze usuzovat na zrychlování expanze vesmíru způsobené nenulovou kosmologickou konstantou. Zrychlování expanze může v budoucnu přerůst v exponenciální fázi expanze vesmíru. Nezávislé měření hodnoty kosmologické konstanty bylo provedeno z rozboru fluktuací reliktního záření měřených sondami WMAP a Planck. Podrobněji se s oběma experimenty seznámíme v kapitole Současná kosmologie. Einsteinova-Fridmanova rovnice (Λ ≠ 0). Rovnice pro expanzní funkci má v přítomnosti kosmologické konstanty tvar (hustota je opět v kg/m3) H 2 − (8/3)πρG − Λ/3 = −c2k/a2. Pokud členy přeskupíme a nalevo ponecháme jen časový vývoj, dostaneme rovnici H 2 = (8/3)πρRG + (8/3)πρMG − c2k/a2 + Λ/3. Probíhající expanzi nejprve ovlivňuje záření (~1/a4), poté látka (~1/a3), pokud je křivost nenulová, následuje éra vlivu zakřivení vesmíru (~1/a2) a nakonec éra zrychlené expanze (~1/a0) daná kosmologickým členem (tzv. de Sitterův vesmír). Na levé straně rovnosti je kvadrát Hubblovy konstanty. Pokud jím vydělíme, získáme rovnost: 1 = ΩR + ΩM − Ωk + ΩΛ. Pro plochý Vesmír je Ωk nulové a vztah přejde ve výše uvedenou relaci pro plochý vesmír.
Červený posuv galaxií (Edwin Hubble, 1929)Edwin Hubble pozoroval galaxie na observatoři Mt. Wilson v zrcadlovém dalekohledu
o průměru 250 cm. V té době šlo o největší dalekohled na světě. E. Hubble
dokázal, že spirální a eliptické mlhoviny jsou ve skutečnosti galaxie složené
z hvězd. Navrhl první metody odhadu vzdálenosti galaxií podle nejjasnějších
hvězd. V roce 1929 experimentálně zjistil červený posuv vzdálených galaxií.
Všechny spektrální čáry jsou u vzdálených galaxií posunuty k červenému
konci spektra. To podle Dopplerova jevu znamená, že se všechny vzdálené
galaxie od nás vzdalují. Obdobná měření konal již dříve Vesto Slipher, ale
nedokázal je správně interpretovat.
Edwin Hubble zjistil, že čím jsou galaxie vzdálenější, tím větší červený posuv ve spektru mají, tj. tím rychleji se vzdalují. To vystihuje Hubbleův vztah V = H d. Dnešní hodnota Hubbleovy konstanty a veličin z ní odvozených (viz dále) je:
Hubblův čas je maximální doba stáří vesmíru, Hubblova vzdálenost je velikost pozorovatelného vesmíru a kritická hustota je hustota hmoty ve vesmíru nutná k jeho uzavření. V průběhu experimentů se hodnota Hubblovy konstanty výrazně měnila podle zpřesňování metod odhadu vzdálenosti galaxií. Poslední a nejpřesnější hodnota je z pozorování sondy Planck. Rozpínání vesmíru s rychlostí úměrnou vzdálenosti je geometricky možné jen ve vesmíru, který se současně rozpíná z každého bodu. Ve dvourozměrné analogii si můžeme představit povrch nafukujícího se balónku, na kterém jsou namalovány tečky, představující galaxie. Každý bod se zdá být středem rozpínání a čím vzdálenější bod, tím rychleji se vzdaluje. Střed balónku nemá žádný hlubší význam, protože je mimo povrch balónku tvořícího „vesmír“. Povšimněte si, že vesmír jako celek se rozpíná. Rozměry jednotlivých galaxií se však nemění. Jsou dány hodnotou gravitační konstanty, která se v průběhu rozpínání nemění. Stejně tak se nemění expanzí vesmíru rozměry člověka. Ty jsou dány elektromagnetickou interakcí, tj. hodnotou elektromagnetického náboje a permitivitou či permeabilitou vakua (resp. hodnotou rychlosti světla ve vakuu). Představte si prádelní gumu s navěšenými sponkami. Pokud gumu natahujeme, je každé místo středem expanze. Expanduje guma, nikoli sponky. ![]() Hubblovo pozorování je jedním z nejdůležitějších experimentálních důkazů rozpínání vesmíru. Hubblova konstanta souvisí s kritickou hustotou (dosadíme Hubblův vztah H = V/d = (da/dt)/a do vztahu pro kritickou hustotu) rovnicí S kritickou hustotou souvisí další dva významné kosmologické parametry: Kdybychom extrapolovali dnešní rozpínání do minulosti, určili bychom stáří vesmíru jako dobu 1/H. Rozpínání vesmíru se však v první polovině jeho existence zpomalovalo, v druhé polovině naopak dochází ke zrychlené expanzi.Proto je skutečné stáří vesmíru jiné než hodnota 1/H. Dnes se z rozboru fluktuací reliktního záření odhaduje stáří vesmíru na 13,8 miliard let. ![]() Edwin Hubble měřil tzv. červený posuv z = Δλ/λ. Červené posuvy naměřené Hubblem byly menší než 0,003. Pro takto blízké galaxie lze červený posuv galaxií interpretovat jako Dopplerův jev z ~ v/c. Pro vzdálenější objekty a vyšší hodnoty z je změna frekvence způsobena rozpínáním geometrie vesmíru (kosmologický červený posuv) a hodnotu z je třeba interpretovat jako [a(t)−a(t0)]/a(t0). Nejvzdálenější dosud pozorovanou galaxií je objekt UDFy-38135539 s červeným posuvem z = 8,6. Světlo opustilo tento objekt pouhých 600 milionů let po Velkém třesku. ![]() Scénář horkého Vesmíru (Ralph Alpher, Hans Bethe, George Gamow, 1948)
Gamow se zabýval tvorbou prvků v průběhu Velkého třesku. Za teplot miliard stupňů došlo k vytvoření vodíku, helia a dalších lehkých prvků. Gamow určil procentuální zastoupení jednotlivých lehkých prvků ve vesmíru (podle tehdejších modelů silné interakce), které ne zcela odpovídalo skutečnosti, ale podle dnešních modelů silné interakce je v dobré shodě se skutečností. (Těžké prvky vznikaly až v nitru hvězd). Byl-li vesmír ve svých raných fázích horký, záření bylo vázáno na hmotu. Tím se rozumí, že kvanta záření – fotony – silně interagovala s hmotou (například záchyt fotonu a následná excitace elektronu nebo ionizace, vyzáření fotonu a deexcitace). Záření mělo charakter rovnovážného záření černého tělesa. Spolu s rozpínáním Vesmíru docházelo k chladnutí hmoty se zářením. Asi 380 000 let po vzniku Vesmíru končí jeho plazmatická éra (a tím i Velký třesk). Volné elektrony se stávají součástí atomárních obalů a látka je od této chvíle elektricky neutrální. Právě volné elektrony doposud udržovaly kontakt záření s látkou. Vesmír se stal pro záření průhledným a interakce záření s hmotou minimální. Záření se oddělilo od látky a započalo svou samostatnou pouť Vesmírem. Přibližně v téže době také poprvé poklesla hustota energie záření (ρ ~ 1/a4) pod hodnotu hustoty energie hmoty (ρ ~ 1/a3). Proto období před oddělením záření od hmoty nazýváme éra záření, následné období éra látky. Podle Stefanova-Boltzmannova zákona je celková energie záření úměrná čtvrté mocnině teploty. Z toho je zřejmé, že teplota záření musí klesat jako 1/a. Gamow teoreticky předpověděl, že záření z období oddělení záření od hmoty by dnes mělo být pozorovatelné jako všudypřítomné záření absolutně černého tělesa o teplotě cca 6 K. Toto záření nazýváme reliktní záření, jeho skutečná teplota je 2,73 K. Současné procentuální zastoupení lehkých prvků a později objevené reliktní záření o teplotě 2,73 K lze řadit k dalším experimentálním důkazům expanze našeho vesmíru. ![]() Reliktní mikrovlnné záření (Cosmic Microwave Background Radiation)
![]()
|