RŮZNÉ METRIKY![]()
Kartézské souřadniceMetrika vlastně popisuje vzdálenost dvou bodů v prostoru nebo v časoprostoru. Nahrazuje nám tak Pythagorovu větu pro infinitezimálně malý úsek vzdáleností a umožňuje vypočítat mnohé vlastnosti prostoru či časoprostoru. Zde jen uvedeme nejčastěji používané metriky a v připravovaných Seminářích k astrofyzice si procvičíte na metriky řadu příkladů. Používáme-li k popisu známého prostoru jen nový typ ortogonálních souřadnic (souřadnicové plochy jsou navzájem kolmé), stačí se infinitezimálně z daného bodu posunout ve směru jednotlivých souřadnicových os a sečíst kvadráty těchto posunutí. Jde vlastně o aplikaci Pythagorovy věty. V obecně zakřiveném časoprostoru je třeba metriku vypočítat z Einsteinových rovnic OTR. Často jsou k dispozici nekorektní a nepřesné postupy, které však mohou jednoduchým způsobem ukázat alespoň tvar metriky v dané situaci. V kartézských souřadnicích (x, y, z) jsou infinitezimální
posuny ve směru jednotlivých os, interval a metrické koeficienty
Polární souřadniceV polárních souřadnicích (r,φ) je situace
obdobná. Jen je třeba si uvědomit, že posuneme-li se v úhlu φ,
pohybujeme se po infinitezimálním oblouku, který je dán jako součin poloměru
a úhlu:
Metrické koeficienty již nejsou rovny jedné. Tentokrát je prostor stále rovný, křivočaré jsou jen použité souřadnice.
Sférické souřadniceVe sférických souřadnicích (r, θ, φ) je posun v radiální ose evidentně dr. Posouváme-li se v ose θ (rozevíráme kuželovou plochu), je posun roven oblouku rdθ. Posun v ose φ, znamená pootočení plochy konstantního φ. Bod se posune o r⊥dφ = r sin θ dφ. Proto máme:
Nezajímají-li nás podrobnosti o úhlových částech metriky, zkracujeme je symbolem dω2. Souřadnice na povrchu koulePředstavme si, že chceme vybudovat souřadnicový systém na povrchu kulové plochy o poloměru R. Použijeme nejprve standardní 3D kartézské souřadnice vycházející ze středu koule. Předpokládejme, že osa z protíná povrch koule v místě pozorovatele a vytváří tak na povrchu koule přirozený pól. Souřadnice x a y lze v těsné blízkosti pólu (pozorovatele) považovat za lokální kartézský systém na povrchu koule. Dále od pólu je ale zjevné, že průsečíky souřadnicových rovin s povrchem koule nejsou přímky.
Integrální a diferenciální vztah pro povrch koule dává: x2 + y2 + z2 = R2; xdx + ydy + zdz = 0. V elementu vzdálenosti pomocí uvedených vztahů postupně eliminujeme proměnnou z: dl2 = dx2 + dy2 + dz2 = dx2 + dy2 + (xdx + ydy)2/(R2 − x2 − y2). Zavedeme-li běžným způsobem polární souřadnice (v těsné blízkosti pólu se budou pozorovateli zdát jako lokální polární souřadnice na povrchu koule, souřadnice r má význam vzdálenosti od osy z) x = r cos φ; y = r sin φ, dostaneme po dosazení a úpravách metriku dl2 = dr2/(1 – r2/R2) + r2dφ2. Často se zavádí takzvaná skalární (Gaussova) křivost k ≡ 1/R2. S tímto označením získá metrika finální tvar
Poprvé v tomto příkladu znamenají nejednotkové koeficienty u metriky skutečně zakřivený „svět“. Budeme-li na povrchu koule konstruovat kružnice, nebude jejich obvod roven 2πa, kde a je vzdálenost měřená po povrchu koule. Stejný příklad řešený pro 3D „povrch“ na 4D kouli naleznete ve skriptu Astrofyzika v příkladech.
Minkowského metrika v STRJedním ze základních postulátů speciální teorie relativity je experimentálně mnohokrát ověření tvrzení, že světlo se ve všech soustavách šíří se stejnou rychlostí. Míjejí-li se dvě souřadnicové soustavy a bliknu-li baterkou v počátku soustav právě když jsou počátky na stejném místě, bude se světlo v obou soustavách šířit v kulových vlnoplochách z počátku: dl2 = c2dt2 , dl' 2 = c2dt' 2 . V obou soustavách tedy platí dx2 + dy2
+ dz2 = c2dt2
, neboli −c2 dt2+ dx2
+ dy2 + dz2 = 0. Právě kombinace
na levé straně je vždy ve všech souřadnicových soustavách stejná a nazývá
se interval. Přejímá význam vzdálenosti, resp. kvadrátu velikosti vektoru
ve čtyřrozměrném časoprostoru. Čas budeme klást na nulté místo v pořadí
souřadnic (časoprostor). Bylo by možné ho také klást na čtvrté pořadí (prostoročas).
Minkowského metrika v kartézských souřadnicích je:
Minkowského metriku můžeme také zapsat ve sférických souřadnicích:
Minkowského metrika je metrikou plochého časoprostoru speciální relativity, i když je zapsána v křivočarých souřadnicích. Schwarzschildova metrikaSchwarzschildovo řešení je řešení Einsteinových rovnic v okolí sféricky symetrického hmotného objektu. Souřadnicový systém S zvolíme nepohyblivý vzhledem k objektu, systém je zjevně neinerciální. Představme si další systém LIS, tentokrát inerciální, který padá z nekonečna k uvažovanému objektu. Jeho okamžitá rychlost je ve vzdálenosti r od objektu rovna v = (2Gm/r)1/2. Rychlost měříme vzhledem k objektu. V padajícím LIS zjistíme kontrakci délek a dilataci času událostí v S: dr = drLIS/γ; dt = γdtLIS , koeficient γ je dán rychlostí pohybu γ = (1 − v2/c2)−1/2 = (1 − 2GM/rc2)−1/2 = (1 − rg/r)−1/2, kde jsme označili tzv. Schwarzschildův poloměr rg ≡ 2GM/c2. V LIS platí speciální relativita a lze použít Minkowského metriku ds2 = − c2 dt2LIS + dr2LIS. Úhlové rozměry jsou v obou soustavách nedotčeny. Metrika v pevném souřadnicovém systému by měla proto být ds2 = − c2 dt2/γ2 + γ2 dr2 + r2dω2, tj. ds2 = − c2(1 − rg/r) dt2 + dr2/(1 − rg/r) + r2dω2. Tento vztah skutečně rigorózně odvodil K. Schwarzschild z rovnic OTR.
Naše „odvození“ je jen jakýmsi náznakem. Použili jsme nerelativistický
vztah pro energii a systém, který je inerciální jen lokálně.
Úhlová část metriky je nedotčena (je to zjevné z „odvození“ pomocí padajícího
systému – v úhlových směrech ke kontrakci nedochází). Časová část je ale
nyní ovlivněna (v různých vzdálenostech od objektu jde čas různě) a radiální
část metriky také. Ve velkých vzdálenostech od centrálního tělesa (rg>>r)
přechází Schwarzschildova metrika v Minkowského metriku, časoprostor není
zakřiven. Na Schwarzschildově poloměru se čas zastaví a radiální část metriky
diverguje. Je to vlastnost zvoleného souřadnicového systému, který je pevný
v prostoru. Padající pozorovatel by při průchodu Schwarzschildovým poloměrem
nepozoroval nic zvláštního. Fridmanova-Lemaitrova-Robertsonova-Walkerova metrika (FLRW)Fridmanovo řešení je řešení Einsteinových rovnic v homogenním isotropním Vesmíru. Souřadnicový systém je součástí Vesmíru a spolu sním se pohybuje (comoving coordinates). ds2 = −c2dt2+ a2(t) [ dr2/(1 − kr2) + r2dω2 ] . Řešení má některé „odchylky“ od Minkowského metriky plochého časoprostoru speciální relativity. Časová část je zcela nedotčena. Celá prostorová část je násobena bezrozměrným koeficientem a2(t). Jde o tzv. expanzní funkci, která vyjadřuje, jak se rozpíná prostorová část metriky. Více se o ní dozvíte na stránce věnované Standardnímu modelu. V rámci prostorové části je úhlová část nedotčena a radiální část je deformována stejně jako metrika na povrchu koule. Jen skalární Gaussova křivost k může být kladná, záporná i nulová. Pro k = 0 a a = 1 přechází FLRW metrika v Minkowského metriku.
|