OBSAHObecná teorie relativityGravitaceExperimentální testy OTR

RŮZNÉ METRIKY

Na této stránce naleznete:
  Kartézské souřadnice
Polární souřadnice
Sférické souřadnice
Souřadnice na povrchu koule
Minkowského metrika
Schwarzschildova metrika
FLRW metrika


Kartézské souřadnice

Metrika vlastně popisuje vzdálenost dvou bodů v prostoru nebo v časoprostoru. Nahrazuje nám tak Pythagorovu větu pro infinitezimálně malý úsek vzdáleností a umožňuje vypočítat mnohé vlastnosti prostoru či časoprostoru. Zde jen uvedeme nejčastěji používané metriky a v připravovaných Seminářích k astrofyzice si procvičíte na metriky řadu příkladů. Používáme-li k popisu známého prostoru jen nový typ ortogonálních souřadnic (souřadnicové plochy jsou navzájem kolmé), stačí se infinitezimálně z daného bodu posunout ve směru jednotlivých souřadnicových os a sečíst kvadráty těchto posunutí. Jde vlastně o aplikaci Pythagorovy věty. V obecně zakřiveném časoprostoru je třeba metriku vypočítat z Einsteinových rovnic OTR. Často jsou k dispozici nekorektní a nepřesné postupy, které však mohou jednoduchým způsobem ukázat alespoň tvar metriky v dané situaci.

V kartézských souřadnicích (x, y, z) jsou infinitezimální posuny ve směru jednotlivých os, interval a metrické koeficienty
 

dlx = dx, dly = dy, dlz = dz,
dl2 = dx2 + dy2 + dz2,
gij = diag {1,1,1} .


Polární souřadnice

V polárních souřadnicích (r,φ) je situace obdobná. Jen je třeba si uvědomit, že posuneme-li se v úhlu φ, pohybujeme se po infinitezimálním oblouku, který je dán jako součin poloměru a úhlu:
 

dlr = dr, dlφ = r dφ,
dl2 = dr2 + r2dφ2 ,
gij = diag {1, r2} .

Metrické koeficienty již nejsou rovny jedné. Tentokrát je prostor stále rovný, křivočaré jsou jen použité souřadnice.

 


Sférické souřadnice

Ve sférických souřadnicích (r, θ, φ) je posun v radiální ose evidentně dr. Posouváme-li se v ose θ (rozevíráme kuželovou plochu), je posun roven oblouku rdθ. Posun v ose φ, znamená pootočení plochy konstantního φ. Bod se posune o rdφ = r sin θ dφ. Proto máme:

dlr = dr, dlθ = rdθ, dlφ = r sin θ dφ,
dl2 = dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θ dφ2 ≡  dr2  + r2 dω2,
gij = diag {1, r2, r2 sin2θ} .

Nezajímají-li nás podrobnosti o úhlových částech metriky, zkracujeme je symbolem dω2.


Souřadnice na povrchu koule

Představme si, že chceme vybudovat souřadnicový systém na povrchu kulové plochy o poloměru R. Použijeme nejprve standardní 3D kartézské souřadnice vycházející ze středu koule. Předpokládejme, že osa z protíná povrch koule v místě pozorovatele a vytváří tak na povrchu koule přirozený pól. Souřadnice x a y lze v těsné blízkosti pólu (pozorovatele) považovat za lokální kartézský systém na povrchu koule. Dále od pólu je ale zjevné, že průsečíky souřadnicových rovin s povrchem koule nejsou přímky.

Pozorovatel na pólu

Integrální a diferenciální vztah pro povrch koule dává:

x2 + y2 + z2 = R2;       xdx + ydy + zdz = 0.

V elementu vzdálenosti pomocí uvedených vztahů postupně eliminujeme proměnnou z:

dl2 = dx2 + dy2 + dz2 = dx2 + dy2 + (xdx + ydy)2/(R2x2y2).

Zavedeme-li běžným způsobem polární souřadnice (v těsné blízkosti pólu se budou pozorovateli zdát jako lokální polární souřadnice na povrchu koule, souřadnice r má význam vzdálenosti od osy z)

x = r cos φ;     y = r sin φ,

dostaneme po dosazení a úpravách metriku

dl2 = dr2/(1 – r2/R2) + r2dφ2.

Často se zavádí takzvaná skalární (Gaussova) křivost k ≡ 1/R2. S tímto označením získá metrika finální tvar

dlr = dr/(1 − k r2)1/2, dlφ = r dφ,
dl2 = dr2/(1 − k r2) + r2dφ2,
gij = diag {1/(1 − k r2), r2} .

Poprvé v tomto příkladu znamenají nejednotkové koeficienty u metriky skutečně zakřivený „svět“. Budeme-li na povrchu koule konstruovat kružnice, nebude jejich obvod roven 2πa, kde a je vzdálenost měřená po povrchu koule. Stejný příklad řešený pro 3D „povrch“ na 4D kouli naleznete ve skriptu Astrofyzika v příkladech.

 


Minkowského metrika v STR

Jedním ze základních postulátů speciální teorie relativity je experimentálně mnohokrát ověření tvrzení, že světlo se ve všech soustavách šíří se stejnou rychlostí. Míjejí-li se dvě souřadnicové soustavy a bliknu-li baterkou v počátku soustav právě když jsou počátky na stejném místě, bude se světlo v obou soustavách šířit v kulových vlnoplochách z počátku:

dl2 = c2dt2 ,   dl' 2 = c2dt' 2 .

V obou soustavách tedy platí dx2 + dy2 + dz2 = c2dt2 , neboli −c2 dt2+ dx2 + dy2 + dz2 = 0. Právě kombinace na levé straně je vždy ve všech souřadnicových soustavách stejná a nazývá se interval. Přejímá význam vzdálenosti, resp. kvadrátu velikosti vektoru ve čtyřrozměrném časoprostoru. Čas budeme klást na nulté místo v pořadí souřadnic (časoprostor). Bylo by možné ho také klást na čtvrté pořadí (prostoročas). Minkowského metrika v kartézských souřadnicích je:
 

ds2 = −c2 dt2+ dx2 + dy2 + dz2,
gij = diag {−c2 , 1, 1, 1} .

Minkowského metriku můžeme také zapsat ve sférických souřadnicích:

ds2 = −c2 dt2 + dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θ dφ2,
gij = diag {−c2, 1, r2, r2 sin2θ} .

Minkowského metrika je metrikou plochého časoprostoru speciální relativity, i když je zapsána v křivočarých souřadnicích.


Schwarzschildova metrika

Schwarzschildovo řešení je řešení Einsteinových rovnic v okolí sféricky symetrického hmotného objektu. Souřadnicový systém S zvolíme nepohyblivý vzhledem k objektu, systém je zjevně neinerciální. Představme si další systém LIS, tentokrát inerciální, který padá z nekonečna k uvažovanému objektu. Jeho okamžitá rychlost je ve vzdálenosti r od objektu rovna v = (2Gm/r)1/2. Rychlost měříme vzhledem k objektu. V padajícím LIS zjistíme kontrakci délek a dilataci času událostí v S:

dr = drLIS/γ;     dt = γdtLIS   ,

koeficient γ je dán rychlostí pohybu

γ = (1 − v2/c2)−1/2 = (1 − 2GM/rc2)−1/2 = (1 − rg/r)−1/2,

kde jsme označili tzv. Schwarzschildův poloměr

rg ≡ 2GM/c2.

V LIS platí speciální relativita a lze použít Minkowského metriku

ds2 = − c2 dt2LIS + dr2LIS.

Úhlové rozměry jsou v obou soustavách nedotčeny. Metrika v pevném souřadnicovém systému by měla proto být

ds2 = − c2 dt2/γ2 + γ2 dr2r2dω2, tj.

ds2 = − c2(1 − rg/r) dt2 + dr2/(1 − rg/r) + r2dω2.

Tento vztah skutečně rigorózně odvodil K. Schwarzschild z rovnic OTR. Naše „odvození“ je jen jakýmsi náznakem. Použili jsme nerelativistický vztah pro energii a systém, který je inerciální jen lokálně.
 

ds2 = − c2(1 − rg/r) dt2 + dr2/(1 − rg/r) +  r2dω2,
gij = diag {−c2(1 − rg/r), 1/(1 − rg/r), r2, r2 sin2θ} .

Úhlová část metriky je nedotčena (je to zjevné z „odvození“ pomocí padajícího systému – v úhlových směrech ke kontrakci nedochází). Časová část je ale nyní ovlivněna (v různých vzdálenostech od objektu jde čas různě) a radiální část metriky také. Ve velkých vzdálenostech od centrálního tělesa (rg>>r) přechází Schwarzschildova metrika v Minkowského metriku, časoprostor není zakřiven. Na Schwarzschildově poloměru se čas zastaví a radiální část metriky diverguje. Je to vlastnost zvoleného souřadnicového systému, který je pevný v prostoru. Padající pozorovatel by při průchodu Schwarzschildovým poloměrem nepozoroval nic zvláštního.


Fridmanova-Lemaitrova-Robertsonova-Walkerova metrika (FLRW)

Fridmanovo řešení je řešení Einsteinových rovnic v homogenním isotropním Vesmíru. Souřadnicový systém je součástí Vesmíru a spolu sním se pohybuje (comoving coordinates).

ds2 = −c2dt2+ a2(t) [ dr2/(1 − kr2) +  r2dω2 ] .

Řešení má některé „odchylky“ od Minkowského metriky plochého časoprostoru speciální relativity. Časová část je zcela nedotčena. Celá prostorová část je násobena bezrozměrným koeficientem a2(t). Jde o tzv. expanzní funkci, která vyjadřuje, jak se rozpíná prostorová část metriky. Více se o ní dozvíte na stránce věnované Standardnímu modelu. V rámci prostorové části je úhlová část nedotčena a radiální část je deformována stejně jako metrika na povrchu koule. Jen skalární Gaussova křivost k může být kladná, záporná i nulová. Pro k = 0 a a = 1 přechází FLRW metrika v Minkowského metriku.

ds2 = − c2dt2+ a2(t) [ dr2/(1 − kr2) +  r2dω2 ],
gij = diag {−c2, a2(t)/(1 − kr2), a2(t) r2, a2(t) r2 sin2θ} .


OBSAHObecná teorie relativityGravitaceExperimentální testy OTR