SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY

Trocha historie
Na konci minulého století se fyzika dostala do nezáviděníhodné situace.
Podle klasické mechaniky, jejíž počátky se datují do doby Galilea, má platit
princip skládání rychlostí. Naopak z rovnic elektromagnetického pole (Maxwellových
rovnic) plynulo, že se světlo má šířit stále stejnou rychlostí, bez
ohledu na zvolený souřadnicový systém. Tento fakt souvisí s transformačními
vlastnostmi Maxwellových rovnic, které poprvé studoval Hendrik Antoon Lorentz
(1853-1928).
Celou řadou experimentů bylo prokázáno, že správný je výsledek plynoucí
z Maxwellových rovnic. Světlo se ve všech souřadnicových systémech pohybuje
stejnou rychlostí nezávisle na pohybu zdroje. První z experimentů tohoto
typu byl slavný experiment Alberta Abrahama Michelsona (1852-1931), který
interferometricky měřil změnu rychlosti pohybu světla napříč a podél pohybu
Země kolem Slunce. Výsledek experimentu byl záporný, žádná závislost rychlosti
světla na pohybu zdroje nebyla pozorována. Experiment byl proveden v roce
1887 a Michelson za jeho přípravu a provedení získal Nobelovu cenu v roce
1907.
Bylo tedy třeba přehodnotit klasickou mechaniku a postavit ji na jiných
principech než je prosté skládání rychlostí. To ale nutně vedlo k tomu,
že prostor a čas přestaly být absolutní, události současné z hlediska jednoho
souřadnicového systému nemusí být současné z hlediska jiného souřadnicového
systému. Stejně tak pojem časového intervalu a vzdálenosti dvou událostí
závisí na zvoleném souřadnicovém systému. Nová teorie platící jen
pro inerciální souřadnicové systémy byla vypracována Albertem Einsteinem
(1879-1955). Ten získal Nobelovu cenu v roce 1921, nikoli však jako tvůrce
speciální a obecné relativity, ale paradoxně za vysvětlení
fotoelektrického jevu. Matematickou podstatou Lorentzovy transformace a
symetrií s ní spojených se zabýval Jules Henri Poincaré (1854-1912). Vlastnosti
časoprostoru ve speciální relativitě zkoumal Hermann Minkowski (1864-1909).
Tvůrci speciální teorie relativity |
 |
|
A. Einstein
(1879-1955)
|
A.A. Michelson
(1852-1931)
|

Základní principy
Klasický princip relativity |
Mechanické děje dopadnou
ve všech inerciálních soustavách stejně. Žádný z inerciálních
systémů není nijak privilegován. Tento princip vychází z Galileovy transformace
mezi dvěma souřadnicovými systémy vzájemně se pohybujícími v ose x
konstantní rychlostí v:
t' = t
x' = x - vt
y' = y
z' = z
Derivováním podle času dostaneme klasické skládání rychlostí:
ux' = ux - v
uy' = uy
uz' = uz
Dalším derivováním zjistíme, že zrychlení v obou soustavách jsou stejná
a
= a'. To znamená, že v obou soustavách působí i stejné síly
a platí klasický princip relativity. |
Speciální relativita |
1. Mechanické i elektromagnetické
děje dopadnou ve všech inerciálních systémech stejně. Žádný
z inerciálních systémů není nijak privilegován.
2. Rychlost světla je ve všech inerciálních
souřadnicových soustavách stejná.
Princip konstantní rychlosti světla je obsažen v Maxwellových rovnicích
a je podpořen celou řadou experimentů, z nichž nejznámější je Michelsonův
experiment. Odpovídající transformace se nazývá Lorentzova
transformace a nevede již k prostému skládání rychlostí. Délky tyčí
a časové intervaly závisí na volbě souřadnicového systému. |
Lorentzova transformace
Předpokládáme, že souřadnicový systém S'
se pohybuje vzhledem k systému S rychlostí v ve směru osy
x.
Na rozdíl od klasického principu relativity, kde se transformuje pouze
prostorová souřadnice, je ve speciální teorii relativity prostorová a časová souřadnice
postavená na stejnou úroveň. Znamená to tedy transformaci ve tvaru
t' = A11x + A12
t
,
x' = A21x + A22
t . |
Transformace musí dále splňovat Einsteinův postulát, který říká, že
ve všech souřadných soustavách je rychlost světla c stejná, tedy
pro čelo světelné vlny vzniklé v centru souřadnic v okamžiku, kdy se systémy
míjí, musí platit
a nikoliv x' = c't'.
Pouze z těchto předpokladů a z předpokladu, že stejné zákony musí platit
i v soustavě S'
po záměně rychlosti v za -v, obdržíme Lorentzovu transformaci.
Obě souřadnicové soustavy jsou inerciální. Význam relativistických koeficientů
γ
a β je definován v další tabulce. Při mnoha
výpočtech je výhodné pracovat v takové soustavě jednotek, ve které je c
= 1. Většina následujících vztahů se v této soustavě značně zjednoduší.
t' = γ(t
- vx/c2)
x' = γ(x
-vt)
y' = y
z' = z |
Lorentzova transformace S →
S'. Transformace, která je ve shodě s Maxwellovými rovnicemi, nevychází
z ní již prosté skládání rychlostí. Tato transformace splňuje oba základní
Einsteinovy postuláty speciální relativity. |
t = γ(t'
+ vx'/c2)
x = γ(x'
+ vt')
y = y'
z = z' |
Inverzní Lorentzova transformace S.'
→
S. |
 |
Lorentzova transformace S →
S' - maticový zápis. Transformace je dána jednoduchou Lorentzovou maticí
Λ.
Stejným způsobem se transformují i ostatní čtyřvektory - prostým působením
Lorentzovy matice Λ. |
 |
Inverzní Lorentzova transformace S →
S' - maticový zápis. Inverzní Lorentzova matice Λ-1
se od Lorentzovy matice Λ liší jen opačným znaménkem
rychlosti pohybu druhé soustavy, tj. znaménkem koeficientu β. |
det Λ
= det Λ-1 = 1 |
Unitarita transformace. Z matematického
hlediska patří Lorentzova transformace k unitárním transformacím. Ty lze
rozdělit na rotace s determinantem rovným +1 a zrcadlení s determinantem
rovným -1. LT tedy patří k rotacím. |
u' = (u
-
v)
/ (1 - uv/c2) |
Transformace rychlosti S →
S'. Rychlosti částice v obou soustavách jsou u = dx/dt,
u' = dx'/dt', rychlost soustavy S'
vzhledem k S je v. Transformační pravidlo získáme ihned diferencováním
Lorentzových rovnic. Maximální rychlost z tohoto transformačního pravidla
vychází c. |
u = (u'
+ v) / (1 + u'v/c2) |
Transformace rychlosti S' →
S. Rychlosti částice v obou soustavách jsou u, u', rychlost
soustavy S' vzhledem k S
je v. Maximální rychlost z tohoto transformačního pravidla vychází
c. |
Základní vztahy
β ≡ v/c |
První relativistický koeficient. Bezrozměrná
rychlost. |
γ ≡ (1
– β2)–1/2 |
Druhý relativistický koeficient. |
dt = γdt0 |
Dilatace času. Časový interval mezi dvěma
událostmi (například počátkem a koncem shlédnutí filmu) je nejkratší ve
vlastní soustavě (v soustavě spojené s oběma událostmi, tedy v kině). Všude
jinde se zdá, že doba uběhlá mezi počátkem a koncem tohoto děje je delší. |
dl = dl0/γ |
Kontrakce délek. Délka tyče (prostorový
interval) je ve vlastní soustavě nejdelší možná. V každé jiné soustavě
se tyče jeví kratší ve směru pohybu. |
m = γm0 |
Pohybová hmotnost. Její zavedení umožní, aby
vztah pro hybnost připomínal vztah z klasické mechaniky. Pohybová hmotnost částice
s narůstající rychlostí roste. V limitě v → c
roste nade všechny meze. Proto není možné žádnou částici s m0 ≠ 0 urychlit na rychlost světla. Rychlost světla je nejvyšší dosažitelná
rychlost. Mají ji jen částice s m0 = 0 a to v libovolném
souřadnicovém systému. Lze to ukázat buď z pohybové rovnice nebo z Pythagorovy
věty o energii. |
E = γm0c2
= mc2 |
Vztah mezi celkovou energií a hmotností.
Jakékoli zvýšení energetického obsahu systému vede i k zvýšení jeho hmotnosti.
Celková obsažená energie je právě dána hmotností systému. |
p = γm0v
= mv |
Celková hybnost částice. Zavedením pohybové
hmotnosti m = γm0 se vztah podobá
klasickému vztahu pro hybnost. |
Wk
= mc2 – m0c2 |
Kinetická energie. Taylorův rozvoj hodnoty
m = γm0 v rychlosti do druhého
řádu vede na klasický vztah Wk = mv2/2. |
E2
= p2c2 + m02c4 |
Pythagorova věta o energii. Jde o užitečné vyjádření kvadrátu
velikosti čtyřvektoru hybnosti. |
Některé čtyřvektory
xμ
= (ct, x) |
Událost. Základní čtveřice parametrů popisujících
v relativitě událost. Koeficient c v časové komponentě zajišťuje
stejný rozměr všech čtyř veličin. V soustavě jednotek s c = 1 tento
koeficient odpadá a mocniny c nebudou ani u následujících výrazů. |
kμ
= (ω/c, k) |
Vlnový čtyřvektor. Popisuje vlnění a změny
jeho fáze. Časová složka ω je změna fáze vlnění
s časem, prostorové složky k jsou změny fáze s jednotlivými souřadnicemi. |
pμ
= (E/c, p) |
Čtyřhybnost. Popisuje částice. Časová
složka E je energie, souvisí se symetriemi v přírodě vzhledem k
časovým posunutím. Prostorová složka p je hybnost, souvisí se symetriemi
v přírodě vzhledem k prostorovým posunutím. V kvantové teorii se objekty
mohou chovat jako vlny i jako částice. Vyjádřením této duality vlna-částice
je vztah pμ ~ kμ.
Konstantou úměrnosti je v SI redukovaná Planckova konstanta. |
Aμ
= (Φ/c, A) |
Čtyřpotenciál elektromagnetického pole.
Elektrická a magnetická pole se určí z výrazů E = – grad Φ
– ∂A/∂t,
B = rot A. |
jμ
= (cρ, j ) |
Čtyřproud. Hustota náboje a proudová hustota.
Čtyřproud popisuje proudění nějaké veličiny, v tomto případě elektromagnetického
náboje. Stejně tak můžeme přiřadit čtyřproud i jiným aditivním veličinám,
například energii: Potom je ρW
= ED/2 + HB/2 hustota energie elektrického a magnetického
pole a
jW
= E×H je tok energie, tzv.
Poyntingův vektor. |
uμ
= dxμ/dτ
= γ(c, v) |
Čtyřrychlost. Rychlost je definována pomocí
derivace podle vlastního času, který je invariantem vzhledem k LT. Tím
je zaručeno, že i čtyřrychlost se chová jako čtyřvektor a má stejné transformační
vlastnosti jako ostatní čtyřvektory. |
pμ
= m0 uμ |
Čtyřhybnost. Definice pomocí čtyřrychlosti.
Musíme ji násobit klidovou hmotností, která je invariantem vzhledem k LT.
Tím je zaručeno, že i čtyřhybnost má stejné transformační vlastnosti jako
ostatní čtyřvektory. Porovnáme-li vyjádření z třetího řádku s tímto, získáme
vztahy E = mc2 a p = mv,
ve kterých je m = γm0. |
Všechny čtyřvektory se transformují shodně – za pomoci Lorentzovy transformace.
Stačí zapůsobit na čtyřvektor vyjádřený v jedné soustavě Lorentzovou maticí
a získáme hodnoty v soustavě druhé (obě soustavy musí být inerciální).
Skalární součin dvou čtyřvektorů definovaný vztahem aμbμ
= – a0b0 + a1b1
+ a2b2 + a3b3
je invariantem a nezávisí na volbě souřadnicového systému. Například xμkμ
= – ωt + kx je fáze vlnění,
dxμdxμ
= – c2dt2 + dx2 +
dy2
+ dz2 je interval,
– jμAμ
= ρΦ - jA je interakční energie
toku nabitých částic s elektromagnetickým polem, atd.

|